Bài toán về ma trận không khả nghịch

[ka4]

Cho A là 1 ma trận vuông không khả nghịch . Chứng minh tồn tại ma trận vuông B( khac 0) cùng cỡ sao cho AB = BA = 0
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Newmath.]

B là ma trận 0.
Bớt tầm thường hơn thì có thể lấy $B$ là (ma trận của) tự đồng trên $R^n$ xác định bởi:

$Bx = 0 \ \forall x \in ImA$ và $Bx \in kerA \ \forall x \in (ImA)^{\perp}$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ka4]

Nguyên văn bởi Newmath.

B là ma trận 0.
Bớt tầm thường hơn thì có thể lấy $B$ là (ma trận của) tự đồng trên $R^n$ xác định bởi:

$Bx = 0 \ \forall x \in ImA$ và $Bx \in kerA \ \forall x \in (ImA)^{\perp}$

mình sửa đề lại r, hơn nữa mình chỉ học tới phần giải hệ phương trình tuyến tính nên bạn có thể kiếm lời giải nào dễ chịu hơn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[portgas_d_ace]

Vì $A$ không khả nghịch nên $A$ có trị riêng là $\lambda =0$. Gọi $p(k)$ là đa thức tối thiểu của $A$ và $g(k)=\dfrac{p(k)}{k}$ và đặt $B=g(A)$. Khi đó hiển nhiên $B$ khác $0$ và $AB=BA=0$.
Ngoài ra có cách cm khác như sau
Không mất tính tổng quát, (do $A$ không khả nghịch) giả sử
$$(a_{11},a_{12},...,a_{1n})=-\sum_{i=2}^{n}c_i(a_{i1},a_{i2},...,a_{in})$$
với $c_i, i=1,2,...,n$ không đồng thời bằng $0$.
Mặt khác, cũng do $detA=0$ nên hệ: $Ax=0$ có vô số nghiệm khác $0$, gọi $(b_{11},b_{21},...,b_{n1})$ là một nghiệm như vậy.
Xét $(b_{1i},b_{2i},...,b_{ni})=c_i(b_{11},b_{21},..., b_{n1})$ thì các bộ xác định như vậy cũng là một nghiệm của hệ.
Đặt $B=(b_{ij})$ như trên thì $AB=0$ (đã chứng minh được) và kiểm tra được $BA=0$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]