$ \begin{cases}x(x+y)^2=9 \\x(y^3-x^3)=7\end{cases} $

[daylight]

Giải hệ phương trình: $$ \begin{cases}x(x+y)^2=9 \\x(y^3-x^3)=7\end{cases} $$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Kelacloi]

$x=0$, ko là nghiệm.
Đặt $y=xt$, dễ thấy $ t \ge 1$
Suy ra:
$ 1=\frac{1}{t^3}+\frac{7}{t^3}.( \frac{t+1}{3})^{ 8/3} $
Vế phải là hàm nghịch biến theo theo $t$
$\Rightarrow t=2$ là nghiệm duy nhất
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TrauBo]

Nguyên văn bởi daylight

Giải hệ phương trình: $$ \begin{cases}x(x+y)^2=9 \\x(y^3-x^3)=7\end{cases} $$

Từ $x(x+y)^2=9 \Rightarrow x >0$.
Từ $x(y^3-x^3)=7 \Rightarrow y=\sqrt[3]{x^3+\dfrac 7 x }$.
Suy ra $$x \left ( x + \sqrt[3]{x^3+\dfrac 7 x } \right)^2 = 9.$$
Khai triển vế trái ta có $$VT=x^3+2x\sqrt[3]{x^6+7x^2}+\sqrt[3]{x(x^4+7)^2}=f(x)$$
Không khó chứng minh $f$ đồng biến trên $(0;+\infty)$. (Chứng minh bằng định nghĩa có lẽ nhanh hơn xét đạo hàm, vì mỗi hạng tử đều đồng biến).
Suy ra phương trình $f(x)=9$ có nghiệm duy nhất, dễ thấy $f(1)=9$.
Vậy hệ có nghiệm $(x;y)=(1;2)$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Nguyên văn bởi Kelacloi

Suy ra:
$ 1=\frac{1}{t^3}+\frac{7}{t^3}.( \frac{t+1}{3})^{ 8/3} $

Cám ơn nhưng bạn làm kĩ giúp đoạn này với, sao suy ra được vậy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Kelacloi]

À, phương trình đầu suy ra
$\frac{t+1}{3}=x^{-3/2}$
Còn còn phương trình sau thì là:
$t^3-1=7/x^4$
rồi thế thế vào thôi , cũng là rút thế giống trâu bò thôi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]