(a+1/2)^n+(b+1/2)^n là nguyên

n.t.tuan · 17-12-2007, 05:34 PM

Cho a,b là các số nguyên dương. Chứng minh rằng $(a+\frac{1}{2})^n+(b+\frac{1}{2})^n $ là một số nguyên chỉ với một số hữu hạn giá trị nguyên dương của n.

Talent · 22-01-2008, 11:13 PM

$2^n|(2a+1)^n+(2b+1)^n $
Dễ cm n lẻ .
Áp dụng
$t=\gcd(2a+2b+2,\frac{(2a+1)^n+(2b+1)^n}{2a+2b+2}=\ gcd(n,2a+2b+2) $
Do n lẻ nên $\gcd(t,2)=1 $
Suy ra $2^n|2(a+b+1) $
Nghĩa là chỉ có hữu hạn n .
Bài toàn cm hoàn toàn .
CM bổ để :
$\gcd(a-b,\frac{a^n-b^n}{a-b})=\gcd(a-b,n) $ trong đó $\gcd(a,b)=1 $
Chứng minh
Trước hết theo thuật toán Euclid ta có $\gcd(x,y)=\gcd(x,y+tx) $
Mặt khác ta có
$\frac{a^n-b^n}{a-b}\equiv n.b^{n-1} (mod (a-b)) $
Do $\gcd(b^{n-1},a-b)=1 $ nên
$\gcd(a-b,\frac{a^n-b^n}{a-b}=\gcd(a-b,n) $

n.t.tuan · 23-01-2008, 12:02 AM

n không chẵn vì khi đó số $(2a+1)^n+(2b+1)^n $ có dạng 4k+2. Khi n lẻ thì $(2a+1)^n+(2b+1)^n=(2a+2b+2)S $ với S lẻ. Suy ra $2^n|(2a+2b+2) $, chỉ có hữu hạn n làm điều này đúng.

P/S: Chú edit post của mình và c/m bổ đề đó ra nhé!

17-12-2007, 05:34 PM	#1
n.t.tuan +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 1,250 Thanks: 119 Thanked 616 Times in 249 Posts	(a+1/2)^n+(b+1/2)^n là nguyên Cho a,b là các số nguyên dương. Chứng minh rằng $(a+\frac{1}{2})^n+(b+\frac{1}{2})^n $ là một số nguyên chỉ với một số hữu hạn giá trị nguyên dương của n. __________________ T.

22-01-2008, 11:13 PM	#2
Talent +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 287 Thanks: 16 Thanked 90 Times in 61 Posts	$2^n\|(2a+1)^n+(2b+1)^n $ Dễ cm n lẻ . Áp dụng $t=\gcd(2a+2b+2,\frac{(2a+1)^n+(2b+1)^n}{2a+2b+2}=\ gcd(n,2a+2b+2) $ Do n lẻ nên $\gcd(t,2)=1 $ Suy ra $2^n\|2(a+b+1) $ Nghĩa là chỉ có hữu hạn n . Bài toàn cm hoàn toàn . CM bổ để : $\gcd(a-b,\frac{a^n-b^n}{a-b})=\gcd(a-b,n) $ trong đó $\gcd(a,b)=1 $ Chứng minh Trước hết theo thuật toán Euclid ta có $\gcd(x,y)=\gcd(x,y+tx) $ Mặt khác ta có $\frac{a^n-b^n}{a-b}\equiv n.b^{n-1} (mod (a-b)) $ Do $\gcd(b^{n-1},a-b)=1 $ nên $\gcd(a-b,\frac{a^n-b^n}{a-b}=\gcd(a-b,n) $ __________________ Prime thay đổi nội dung bởi: Talent, 23-01-2008 lúc 08:11 PM

23-01-2008, 12:02 AM	#3
n.t.tuan +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 1,250 Thanks: 119 Thanked 616 Times in 249 Posts	n không chẵn vì khi đó số $(2a+1)^n+(2b+1)^n $ có dạng 4k+2. Khi n lẻ thì $(2a+1)^n+(2b+1)^n=(2a+2b+2)S $ với S lẻ. Suy ra $2^n\|(2a+2b+2) $, chỉ có hữu hạn n làm điều này đúng. P/S: Chú edit post của mình và c/m bổ đề đó ra nhé! __________________ T.