phương trình khó

Dungcvp · 17-01-2008, 07:54 PM

Tìm tất cả các bộ $a,b,c,d $ nguyên dương :
$(abc)^{127}=(a^3+b^3+c^3)^d $

dong1919 · 17-01-2008, 08:57 PM

Hay thật ta có
$ a^3+b^3+c^3=m(abc)^u $
với m ko chia hết cho abc
=> tồn tại p nguyên tố s/c$ p |m $ mà ko chia hết abc
$ m=1 $ => $ a^3+b^3+c^3=(abc)^u $ dễ có$ u |127 $

Dungcvp · 19-01-2008, 04:38 PM

Bài nay quả là không đơn giản .Lời giải của nó khá rắc rối.Có thời gian mình sẽ post lên sau

thaithuan_GC · 20-01-2008, 04:08 PM

Gọi $p $ là $1 $ ước nguyên tố chung của $a;b;c $
$a=p^x.m ; b=p^y.n ; z=p^z.k $ và ta có thể giả sử $x=min{x;y;z} $.
Ta chứng minh $a=b=c $ . Giả sử $a \neq b \neq c $
$(abc)^{127}=p^{127(x+y+z)}.A $
$(a^3+b^3+c^3)^d=p^{3dx}.B $ với $(B;p)=1 $
Rõ ràng :
$127(x+y+z)=3dx < d.(x+y+z) $
$=> d >127 $ .mặt khác theo AM-GM:
$(abc)^{127}=(a^3+b^3+c^3)^d \geq (3abc)^d. $
$=> 127 > d $. Vô lí
Do đó $a=b=c $. Từ đó giải quyết bài toán .

17-01-2008, 07:54 PM	#1
Dungcvp +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2008 Bài gởi: 16 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts	phương trình khó Tìm tất cả các bộ $a,b,c,d $ nguyên dương : $(abc)^{127}=(a^3+b^3+c^3)^d $

17-01-2008, 08:57 PM	#2
dong1919 Sư tổ Kim Dung-CÁI BANG Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: A1K35PBC-Nghệ An Bài gởi: 291 Thanks: 0 Thanked 33 Times in 23 Posts	Hay thật ta có $ a^3+b^3+c^3=m(abc)^u $ với m ko chia hết cho abc => tồn tại p nguyên tố s/c$ p \|m $ mà ko chia hết abc $ m=1 $ => $ a^3+b^3+c^3=(abc)^u $ dễ có$ u \|127 $

19-01-2008, 04:38 PM	#3
Dungcvp +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2008 Bài gởi: 16 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts	Bài nay quả là không đơn giản .Lời giải của nó khá rắc rối.Có thời gian mình sẽ post lên sau

20-01-2008, 04:08 PM	#4
thaithuan_GC +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 175 Thanks: 12 Thanked 23 Times in 10 Posts	Gọi $p $ là $1 $ ước nguyên tố chung của $a;b;c $ $a=p^x.m ; b=p^y.n ; z=p^z.k $ và ta có thể giả sử $x=min{x;y;z} $. Ta chứng minh $a=b=c $ . Giả sử $a \neq b \neq c $ $(abc)^{127}=p^{127(x+y+z)}.A $ $(a^3+b^3+c^3)^d=p^{3dx}.B $ với $(B;p)=1 $ Rõ ràng : $127(x+y+z)=3dx < d.(x+y+z) $ $=> d >127 $ .mặt khác theo AM-GM: $(abc)^{127}=(a^3+b^3+c^3)^d \geq (3abc)^d. $ $=> 127 > d $. Vô lí Do đó $a=b=c $. Từ đó giải quyết bài toán .