Tìm n

Dungcvp · 19-01-2008, 04:49 PM

Xác định tất cả các số tự nhiên $n $ sao cho tồn tại số nguyên $m $ sao cho $2^n-1 $ chia hết $m^2+9 $

caca nguyen · 22-01-2008, 04:26 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Dungcvp

$2^n-1 $ chia hết $m^2+9 $

Ý chỗ này ko rõ:như thế nghĩa là $2^n-1 $ là ước của $m^2+9 $ hay $m^2+9 $ là ước của $ 2^n-1 $

thaithuan_GC · 22-01-2008, 04:36 PM

Đáp án là $n=2^k $ . Gợi ý : Bài này sử dụng định lí phần dư Trung Hoa .

Talent · 22-01-2008, 10:39 PM

Bài này làm thế này :
Trước hết ta có nhận xét đơn giản sau :
1) Mọi ước nguyên tố khác 3 của $m^2+9 $ có dạng 4k+3.
Trường hợp ngược lại hiển nhiên đúng (đây chính là một tính chất cơ bản của thặng dư chính phương khi xét $(\frac{-1}{p} $ .
2) Nếu n lẻ thì $2^n-1 $ có ước nguyên tố lẻ khác 3.
Thật thế n lẻ thì
$3\not|2^n-1 $ và do $2^n-1\equiv 1 (mod 2) $ nên nhận xét hiển nhiên đúng .
3 ) CM mọi ước nguyên tố của $2^{2^n}-1 $ lớn hơn 3 đều có dạng 4k+3 (cm quy nạp )
Từ đó suy ra $n=2^m $

19-01-2008, 04:49 PM	#1
Dungcvp +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2008 Bài gởi: 16 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts	Tìm n Xác định tất cả các số tự nhiên $n $ sao cho tồn tại số nguyên $m $ sao cho $2^n-1 $ chia hết $m^2+9 $

22-01-2008, 10:39 PM	#4
Talent +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 287 Thanks: 16 Thanked 90 Times in 61 Posts	Bài này làm thế này : Trước hết ta có nhận xét đơn giản sau : 1) Mọi ước nguyên tố khác 3 của $m^2+9 $ có dạng 4k+3. Trường hợp ngược lại hiển nhiên đúng (đây chính là một tính chất cơ bản của thặng dư chính phương khi xét $(\frac{-1}{p} $ . 2) Nếu n lẻ thì $2^n-1 $ có ước nguyên tố lẻ khác 3. Thật thế n lẻ thì $3\not\|2^n-1 $ và do $2^n-1\equiv 1 (mod 2) $ nên nhận xét hiển nhiên đúng . 3 ) CM mọi ước nguyên tố của $2^{2^n}-1 $ lớn hơn 3 đều có dạng 4k+3 (cm quy nạp ) Từ đó suy ra $n=2^m $ __________________ Prime

22-01-2008, 04:36 PM	#3
thaithuan_GC +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 175 Thanks: 12 Thanked 23 Times in 10 Posts	Đáp án là $n=2^k $ . Gợi ý : Bài này sử dụng định lí phần dư Trung Hoa .