British Mathematical Olympiad Round 2 2008

thaithuan_GC · 03-02-2008, 06:15 PM

Ko quá khó !
4/ Chứng minh rằng tồn tại vô hạn cặp số nguyên dương thỏa $x^3+y^2 $ chia hết cho $x^2+y^3 $

fool90 · 04-02-2008, 01:52 PM

Sau đây là một cách suy nghĩ để tìm ra lời giải.
Trước hết để ý thấy hai vế bậc của x,y đều lệch 1, nếu xét x=ay ( chú ý x>y thì khi đủ lớn mới có thể chia hết),có thể làm đưa 1 biến về bậc nhất.
hệ thức tương đương: $a^3.y +1 \vdots a^2 +y $(*)
nhận thấy$ y \equiv -a^2 (mod a^2 +y) $
do vậy (*) tương đương : $a^3 . (-a^2) +1 \vdots a^2 +y $
$\Leftrightarrow a^5-1 \vdots a^2 +y $ (**)
khi này rõ ràng chọn $y=a^5-1-a^2 $thì $VT=VP $ hiển nhiên (**) đúng.

Do đó những bộ sau thoả mãn:$(x,y)= ( a^6-a^3-a; a^5-a^2-1) $ với mọi $a $ nguyên.
Bài toán đựơc chứng minh.

03-02-2008, 06:15 PM	#1
thaithuan_GC +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 175 Thanks: 12 Thanked 23 Times in 10 Posts	British Mathematical Olympiad Round 2 2008 Ko quá khó ! 4/ Chứng minh rằng tồn tại vô hạn cặp số nguyên dương thỏa $x^3+y^2 $ chia hết cho $x^2+y^3 $

04-02-2008, 01:52 PM	#2
fool90 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: Ninh Bình Bài gởi: 49 Thanks: 1 Thanked 13 Times in 4 Posts	abc Sau đây là một cách suy nghĩ để tìm ra lời giải. Trước hết để ý thấy hai vế bậc của x,y đều lệch 1, nếu xét x=ay ( chú ý x>y thì khi đủ lớn mới có thể chia hết),có thể làm đưa 1 biến về bậc nhất. hệ thức tương đương: $a^3.y +1 \vdots a^2 +y $() nhận thấy$ y \equiv -a^2 (mod a^2 +y) $ do vậy () tương đương : $a^3 . (-a^2) +1 \vdots a^2 +y $ $\Leftrightarrow a^5-1 \vdots a^2 +y $ () khi này rõ ràng chọn $y=a^5-1-a^2 $thì $VT=VP $ hiển nhiên () đúng. Do đó những bộ sau thoả mãn:$(x,y)= ( a^6-a^3-a; a^5-a^2-1) $ với mọi $a $ nguyên. Bài toán đựơc chứng minh.