|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
05-02-2019, 06:55 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2009 Bài gởi: 214 Thanks: 65 Thanked 70 Times in 45 Posts | JBMO TST Romani 2015 Bài toán 5 :Tìm các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn $4^{a}5^{b}-3^{c}11^{d}=1$ |
07-02-2019, 06:45 AM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2009 Bài gởi: 214 Thanks: 65 Thanked 70 Times in 45 Posts | Ta có $3^{c}11^{d}=4^{a}5^{b}-1=5^{b}-1=0(\mod 3)$ .Nên b=2x $3^{c}11^{d}=4^{a}5^{2x}-1=(2^{a}5^{x}-1)(2^{a}5^{x}+1)$ .Nhưng $(2^{a}5^{x}+1)-(2^{a}5^{x}-1)=2$.Do đó hai số $(2^{a}5^{x}+1)$ và$(2^{a}5^{x}-1)$ một số là lũy thừa của 3 ,một số là lũy thừa 11 Ta có $(2^{a}5^{x}+1)+(2^{a}5^{x}-1)=2^{a+1}5^{x}=3^{c}+11^{d}$ chia hết cho 10.Vì $11^{d}$ có số tận cùng là 1 nên $3^{c}$ tận cùng là 9 do đó c=4k+2 Khi $a\geq 2$ thì $(2^{a}5^{x}+1)$ chia 4 dư 1 còn $(2^{a}5^{x}-1)$ chia 4 dư 3.Chỉ có khả năng là $2^{a}5^{x}+1=3^{4k+2}=9^{2k+1}$ $2^{a}5^{x}=9^{2k+1}-1=(9^{2k+1}+1)-2 $ không chia hết cho 5 (vô lý) Vậy a=1,$(2.5^{x}-1)$ chia 4 dư 1 => $2.5^{x}-1=9^{2k+1}$ và $2.5^{x}+1=11^{d}=11^{2y+1}$ thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 07-02-2019 lúc 09:42 PM |
08-02-2019, 07:28 PM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2009 Bài gởi: 214 Thanks: 65 Thanked 70 Times in 45 Posts | Nếu $x\geq 2$=>$d\geq 2$ Ta có $2.5^{x}=11^{d}-1=(10+1)^{d}-1=10^{d}+...+\frac{d(d-1)}{2}10^2+10d$ chia hết 25 nên d chia hết cho 5. Do đó $2.5^{x}=11^{d}-1$ chia hết $11^{5}-1$ là điều vô lý.Vậy x<2 =>x=1,d=1=>(a,b,c,d)=(1,2,2,1) thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 09-02-2019 lúc 06:56 AM |
Bookmarks |
|
|