Một bài bất đẳng thức l

nguyenmackhai · 15-07-2010, 08:38 PM

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa $x+y+z+1=4xyz $
Chứng minh rằng
$ xy+yz+zx \ge x+y+z $

**truongvoki_bn** · 15-07-2010, 08:52 PM

Trích:

Nguyên văn bởi nguyenmackhai

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa x+y+z+1=4xyz
Chứng minh rằng
xy+yz+zx >= x+y+z

( Sorry, latex bị hỏng, nên ko gõ công thức được)

Đặt $ \frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z $
ta được bài BDT VMO :
Cho 3 số a;b;c dương t/m a+b+c+abc=4
ta có: a+b+c$\ge ab+bc+ca $

**novae** · 15-07-2010, 08:55 PM

Trích:

Nguyên văn bởi truongvoki_bn

Đặt $ \frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z $
ta được bài BDT VMO :
Cho 3 số a;b;c dương t/m a+b+c+abc=4
ta có: a+b+c$\ge ab+bc+ca $

phải là ab+bc+ca+abc=4
bài này trong đề chọn tuyển đi thi quốc gia HP 2008-2009

nam1994 · 15-07-2010, 09:57 PM

Trích:

Nguyên văn bởi truongvoki_bn

ta được bài BDT VMO :
Cho 3 số a;b;c dương t/m a+b+c+abc=4

bạn dạy mình cách đặt với

------------------------------
Bài này có thể làm theo hướng sau
$BDT<=> f(r)=q-4r+1\geq 0 $
dễ thấy f(r) nghịch biến lên ta chỉ cần xét trong trường hợp 2 biến bằng nhau là đủ, giả sử x=y, rút z ta có $z=\frac{1}{2x-1} $
thế vào $BDT<=>x^2+2x\frac{1}{2x-1}-2x-\frac{1}{2x-1}\geq0 $
hay $(x-1)^2\geq0 $
dấu = xảy ra khi x=y=z=1

nguyen__ · 16-07-2010, 12:30 PM

Trích:

Nguyên văn bởi nam1994

dễ thấy f(r) nghịch biến lên ta chỉ cần xét trong trường hợp 2 biến bằng nhau là đủ

Anh giải thích cho em cái này được không ạ .

h.vuong_pdl · 16-07-2010, 02:03 PM

Nếu là a+b+c+abc=4 hay ab+bc+ca+abc=4 thì ta đều có thể giải đc bằng những cách sơ cấp:
+) Nếu giả thiết là $ab+bc+ca+abc=4 $ thì chú ý đẳng thức sau:
$\frac{1}{a+2} + \frac{1}{b+2} + \frac{1}{c+2}=1 $
Đẳng thức này tương đương vs giả thiết đã cho!
Hay có thể viết lại là
$\frac{a}{a+2} + \frac{b}{b+2} + \frac{c}{c+2}=1
=> 1 = \sum{\frac{a^2}{a^2+2a}} \ge \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(a+b+c)} $ (áp dụng BDT Cauchy-Schwarz)
Vậy $a+b+c \ge ab+bc+ca $ sau khi quy đòng BDt trên

+) Nếu $a+b+c+abc=4 $ thì ta cũng có một lời giải sơ cấp bằng BDT schur như sau, Mình xin vắn tắt:
ta có $p+r=4 $. Cần CM $p \ge q $ hay $4p^2 \ge 4pq $
Áp dụng BDT Schur thì $p^3+9r \ge 4pq $
Như vậy ta cần Cm $p^3+9r \le 4p^2 $ thay $r = 4-p $ thì cần Cm:
$p^3-4p^2-9p+36 \le 0 $
$<=> (p-3)(p+3)(p+4) \le 0 $
BDT này đúng vì dẽ dàng Cmd $p \ge 3 $ và $p \le 4 $ thì hiển nhiên vì $p+r = 4 $
Vậy ta ccos ngay đpcm!!!

nam1994 · 16-07-2010, 07:15 PM

Trích:

Nguyên văn bởi nguyen__

Anh giải thích cho em cái này được không ạ .

[Only registered and activated users can see links. ]
đều ý tưởng từ cái nì

shinomoriaoshi · 16-07-2010, 08:38 PM

Theo mình mấy bài dạng này thì dùng nguyên lí Dirichlet là hay và ngắn gọn nhất.

nguyen__ · 16-07-2010, 09:10 PM

Trích:

Nguyên văn bởi nam1994

[Only registered and activated users can see links. ]
đều ý tưởng từ cái nì

Em cũng xem topic ý rồi ạ , em cũng xem lun cả cái file đó rùi ạ, nhưng em vẫn không hiểu, anh giải thích rõ đc không ạ

**truongvoki_bn** · 19-07-2010, 10:08 AM

Trích:

Nguyên văn bởi h.vuong_pdl

Nếu là a+b+c+abc=4 hay ab+bc+ca+abc=4 thì ta đều có thể giải đc bằng những cách sơ cấp:
+) Nếu giả thiết là $ab+bc+ca+abc=4 $ thì chú ý đẳng thức sau:
$\frac{1}{a+2} + \frac{1}{b+2} + \frac{1}{c+2}=1 $
Đẳng thức này tương đương vs giả thiết đã cho!
Hay có thể viết lại là
$\frac{a}{a+2} + \frac{b}{b+2} + \frac{c}{c+2}=1
=> 1 = \sum{\frac{a^2}{a^2+2a}} \ge \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(a+b+c)} $ (áp dụng BDT Cauchy-Schwarz)
Vậy $a+b+c \ge ab+bc+ca $ sau khi quy đòng BDt trên

Mình xin có một cách c/m cũng rất hay: đặt a=2a'.....
khi đó đk tương đương là:2a'b'c'+a'b'+b'c'+c'a'=1(*)
và BDT cần c/m a'+b'+c'$\ge $2a'b'+2b'c'+2c'a'
Đk (*) tương đương tồn tại 3 số x;y;z dương sao cho :
$a'=\frac{x}{y+z};.... $
khi đó BDT tương đương phải c/m:
$\sum{\frac{x}{y+z}}\ge \sum{\frac{xy}{(y+z)(x+z)}} $
Quy đồng lên BDT tương đương $x^3+y^3+z^3+3xyz \ge xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x) $
Cái này đúng theo Schur

15-07-2010, 08:38 PM	#1
nguyenmackhai +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2008 Bài gởi: 52 Thanks: 18 Thanked 14 Times in 8 Posts	Một bài bất đẳng thức l Cho x,y,z là các số thực dương thỏa $x+y+z+1=4xyz $ Chứng minh rằng $ xy+yz+zx \ge x+y+z $ thay đổi nội dung bởi: asimothat, 16-07-2010 lúc 05:58 AM

Ðiều Chỉnh
Tạo trang in Email trang này
Xếp Bài
Chế độ bình thường Chuyển sang chế độ Pha trộn Chuyển sang chế độ dạng cây

16-07-2010, 02:03 PM	#6
h.vuong_pdl +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2010 Bài gởi: 56 Thanks: 18 Thanked 32 Times in 20 Posts	Nếu là a+b+c+abc=4 hay ab+bc+ca+abc=4 thì ta đều có thể giải đc bằng những cách sơ cấp: +) Nếu giả thiết là $ab+bc+ca+abc=4 $ thì chú ý đẳng thức sau: $\frac{1}{a+2} + \frac{1}{b+2} + \frac{1}{c+2}=1 $ Đẳng thức này tương đương vs giả thiết đã cho! Hay có thể viết lại là $\frac{a}{a+2} + \frac{b}{b+2} + \frac{c}{c+2}=1 => 1 = \sum{\frac{a^2}{a^2+2a}} \ge \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(a+b+c)} $ (áp dụng BDT Cauchy-Schwarz) Vậy $a+b+c \ge ab+bc+ca $ sau khi quy đòng BDt trên +) Nếu $a+b+c+abc=4 $ thì ta cũng có một lời giải sơ cấp bằng BDT schur như sau, Mình xin vắn tắt: ta có $p+r=4 $. Cần CM $p \ge q $ hay $4p^2 \ge 4pq $ Áp dụng BDT Schur thì $p^3+9r \ge 4pq $ Như vậy ta cần Cm $p^3+9r \le 4p^2 $ thay $r = 4-p $ thì cần Cm: $p^3-4p^2-9p+36 \le 0 $ $<=> (p-3)(p+3)(p+4) \le 0 $ BDT này đúng vì dẽ dàng Cmd $p \ge 3 $ và $p \le 4 $ thì hiển nhiên vì $p+r = 4 $ Vậy ta ccos ngay đpcm!!!

16-07-2010, 08:38 PM	#8
shinomoriaoshi +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2010 Đến từ: Tuy Hòa Bài gởi: 198 Thanks: 198 Thanked 129 Times in 72 Posts	Theo mình mấy bài dạng này thì dùng nguyên lí Dirichlet là hay và ngắn gọn nhất.