Bất đẳng thức hay

chjmxoantjt · 18-07-2010, 08:43 AM

ChO a, b, c > 0 thỏa mãn: $a + b + c = 1 $
Chưng minh rằng: $ \frac{a}{1 + bc} + \frac{b}{1 + ac} + \frac{c}{1 + ab} >= \frac{9}{10} $

shinomoriaoshi · 18-07-2010, 09:10 AM

Bài này mình xin giải như sau
$VT=\sum{\frac{a}{1+bc}}=\sum{\frac{a^2}{a+abc}}\ge \frac{(\sum{a})^2}{a+b+c+3abc}=\frac{1}{1+3abc} $(1)
Mà ta có $abc\le(\frac{a+b+c}{3})^3=\frac{1}{27} $
Thay vào (1), ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3} $

h.vuong_pdl · 18-07-2010, 09:51 AM

Giải như thế này cũng được nè:
$2. VT = 2\sum {\frac{a}{1+bc}} = 2\sum {a} - \sum{\frac{2abc}{1+bc}} \ge 2 - \sum{a\sqrt{bc}} $
Dễ thấy $3\sum{a\sqrt{bc}} \le (\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^2 \le (a+b+c)^2 = 1 $
Từ đó dễ dàng suy ra đpcm!!!

P/s: Đây chính là kĩ thuật co-si ngược dấu quen thuộc!

**truongvoki_bn** · 18-07-2010, 09:55 AM

Trích:

Nguyên văn bởi h.vuong_pdl

Giải như thế này cũng được nè:
$2. VT = 2\sum {\frac{a}{1+bc}} = 2\sum {a} - \sum{\frac{2abc}{1+bc}} \ge 2 - \sum{a\sqrt{bc}} $
Dễ thấy $3\sum{a\sqrt{bc}} \le (\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^2 \le (a+b+c)^2 = 1 $
Từ đó dễ dàng suy ra đpcm!!!

P/s: Đây chính là kĩ thuật co-si ngược dấu quen thuộc!

Bạn xem lại dấu = hộ mình cái

Bài này trong sáng tạo BDT

**novae** · 18-07-2010, 10:01 AM

Cách giải trên sai ở chỗ đánh giá $1+bc \geq 2\sqrt{bc} $ vì dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3} $

h.vuong_pdl · 18-07-2010, 10:11 AM

Uhm, mình nhầm ở chỗ cô-si bc+1 mà quên nghĩ đến điểm rơi không phải là a=b=c=1....... xin lỗi mọi người.
Mình xin sửa như sau: $9bc+9 \ge 10.\sqrt[10]{bc} $
Lại chú ý $27abc \le 1 $ nên ta đưa BDT về Cm:
$\sum{a\sqrt[10]{b^9c^9}} \ge 1/3.\sqrt[10]{1/3^8} $
hay mạnh hơn dùng abc 27abc \le 1 ta đưa về Cm:
$\sqrt[10]{a} + \sqrt[10]{b}+\sqrt[10]{c} \le 3.\sqrt[10]{1/3} $
Với giả thiết a+b+c=1 thì Cm BDT này bằng AM-GM không quá khod??

P/s: tuy nhiên cách này khá công cềnh nên dùng cách Cauchy-Schwarz là hay nhất????

18-07-2010, 08:43 AM	#1
chjmxoantjt +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2010 Bài gởi: 10 Thanks: 1 Thanked 0 Times in 0 Posts	Bất đẳng thức hay ChO a, b, c > 0 thỏa mãn: $a + b + c = 1 $ Chưng minh rằng: $ \frac{a}{1 + bc} + \frac{b}{1 + ac} + \frac{c}{1 + ab} >= \frac{9}{10} $ thay đổi nội dung bởi: chjmxoantjt, 18-07-2010 lúc 08:47 AM

18-07-2010, 10:01 AM	#5
novae +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts	Cách giải trên sai ở chỗ đánh giá $1+bc \geq 2\sqrt{bc} $ vì dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3} $ __________________ M. thay đổi nội dung bởi: novae, 28-09-2010 lúc 08:21 PM

18-07-2010, 09:10 AM	#2
shinomoriaoshi +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2010 Đến từ: Tuy Hòa Bài gởi: 198 Thanks: 198 Thanked 129 Times in 72 Posts	Bài này mình xin giải như sau $VT=\sum{\frac{a}{1+bc}}=\sum{\frac{a^2}{a+abc}}\ge \frac{(\sum{a})^2}{a+b+c+3abc}=\frac{1}{1+3abc} $(1) Mà ta có $abc\le(\frac{a+b+c}{3})^3=\frac{1}{27} $ Thay vào (1), ta có đpcm Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3} $

18-07-2010, 09:51 AM	#3
h.vuong_pdl +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2010 Bài gởi: 56 Thanks: 18 Thanked 32 Times in 20 Posts	Giải như thế này cũng được nè: $2. VT = 2\sum {\frac{a}{1+bc}} = 2\sum {a} - \sum{\frac{2abc}{1+bc}} \ge 2 - \sum{a\sqrt{bc}} $ Dễ thấy $3\sum{a\sqrt{bc}} \le (\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^2 \le (a+b+c)^2 = 1 $ Từ đó dễ dàng suy ra đpcm!!! P/s: Đây chính là kĩ thuật co-si ngược dấu quen thuộc!

18-07-2010, 10:11 AM	#6
h.vuong_pdl +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2010 Bài gởi: 56 Thanks: 18 Thanked 32 Times in 20 Posts	Uhm, mình nhầm ở chỗ cô-si bc+1 mà quên nghĩ đến điểm rơi không phải là a=b=c=1....... xin lỗi mọi người. Mình xin sửa như sau: $9bc+9 \ge 10.\sqrt[10]{bc} $ Lại chú ý $27abc \le 1 $ nên ta đưa BDT về Cm: $\sum{a\sqrt[10]{b^9c^9}} \ge 1/3.\sqrt[10]{1/3^8} $ hay mạnh hơn dùng abc 27abc \le 1 ta đưa về Cm: $\sqrt[10]{a} + \sqrt[10]{b}+\sqrt[10]{c} \le 3.\sqrt[10]{1/3} $ Với giả thiết a+b+c=1 thì Cm BDT này bằng AM-GM không quá khod?? P/s: tuy nhiên cách này khá công cềnh nên dùng cách Cauchy-Schwarz là hay nhất????