|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
01-10-2018, 07:01 PM | #31 | |
Moderator Tham gia ngày: Oct 2017 Đến từ: THPT Chuyên Bảo Lộc Bài gởi: 17 Thanks: 51 Thanked 10 Times in 7 Posts | Trích:
Giả sử tồn tại hàm $f\left( x \right)$ khác hằng thỏa mãn: \[f(f(x)-y^2)=f(x^2)+y^2f(y)-2f(xy),\quad\forall x,y\in \mathbb{R} \quad(1).\] Lúc đó: Trong $(1)$ thay $y=1$ ta có: \[f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = f\left( {{x^2}} \right) + f\left( 1 \right) - 2f\left( x \right), \quad\forall x\in \mathbb{R} \quad(2).\] Thay $y=-1$ vào $(1)$ ta lại được: \[f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = f\left( {{x^2}} \right) + f\left( -1 \right) - 2f\left(- x \right), \quad\forall x\in \mathbb{R} \quad(3).\] Do đó, từ $(2)$ và $(3)$ ta có: \[2f\left( x \right) + f\left( { - 1} \right) = 2f\left( { - x} \right) + f\left( 1 \right), \quad\forall x\in \mathbb{R} \quad(4).\] Trong $(4)$, cho $x=1$ ta có $f\left( 1 \right) = f\left( { - 1} \right)$ nên $(4)$ tương đương với: \[f\left( x \right) = f\left( { - x} \right), \quad\forall x\in \mathbb{R}.\] Thay $x=y=1$ vào $(1)$ ta có: $f\left( {f\left( 1 \right) - 1} \right) = 0$, do đó tồn tại số thực $a$ sao cho $f\left( a \right) = 0.$ Thay $x=a$, $y=0$ vào $(1)$ ta có: $f\left( 0 \right) = - 2f\left( 0 \right)$, suy ra $f\left( 0 \right) = 0.$ Thay $x=a$ vào $(1)$ ta có: \[f\left( {{y^2}} \right) = {y^2}f\left( y \right),\quad\forall y\in \mathbb{R} \quad(5).\] Thay $x=0$ vào $(1)$ ta lại có:\[f\left( {{y^2}} \right) = {y^2}f\left( y \right) - 2f\left( {ay} \right),\quad\forall y\in \mathbb{R} \quad(6).\] Từ $(5)$ và $(6)$ ta có: \[f\left( {ay} \right) = 0,\quad\forall y\in \mathbb{R} \quad(7).\] Suy ra $f\left( x \right)=0$ khi và chỉ khi $x=0$, bởi nếu không, do $a$ khác $0$ nên đẳng thức $(7)$ tương đương với $f\left( x \right) \equiv 0,\forall x\in \mathbb{R}$, vô lý!! Tiếp tục thay $y$ bởi $x$ vào $(1)$ ta được: \[f\left( {f\left( x \right) - {x^2}} \right) = 0,\forall x\in \mathbb{R}.\] Suy ra $f\left( x \right) = {x^2},\forall x\in \mathbb{R}$. Thử lại, ta kết luận phương trình có 2 nghiệm hàm $f\left( x \right) \equiv 0,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( x \right) = {x^2},\forall x\in \mathbb{R}$. thay đổi nội dung bởi: ncthanh, 01-10-2018 lúc 07:03 PM | |
02-10-2018, 12:31 PM | #32 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2017 Bài gởi: 7 Thanks: 1 Thanked 6 Times in 4 Posts | Em gõ sai bộ em xin sửa lại như sau ạ: $(2,6,13,12,11,7,15,17,19,29,28,14,22,34,30,25,24, 35,29,27,261,38,37,23,32,9,3,36,4,5,8,33,10,16,40, 31,21,20,39,25,18)$ thay đổi nội dung bởi: nguyenhaan2209, 02-10-2018 lúc 07:06 PM |
02-10-2018, 02:51 PM | #33 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 93 Thanks: 1 Thanked 68 Times in 45 Posts | Lời giải vẫn sai, vì $2+6+13+12+11+7+14+15+17=97$ và\[\left( {\frac{{97}}{{41}}} \right) = \left( {\frac{{15}}{{41}}} \right) =\left( {\frac{{3}}{{41}}} \right) \left( {\frac{{5}}{{41}}} \right)= - 1.\] |
02-10-2018, 03:49 PM | #34 | |
Administrator Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 349 Thanks: 0 Thanked 308 Times in 161 Posts | Trích:
Đầu tiên xây dựng dãy: $\{0, 1, 40, 2, 39, 4, 37, 5, 36, 8, 33, 9, 32, 10, 31, 16, 25, 18, 23, 20, 21\}$. Với 20 số còn lại, ta chia thành 10 cặp mà tổng 2 số của 1 cặp chia hết cho 41. Với một cặp $(a, b)$ mà $a < b$, có thể kiểm tra được rằng tồn tại $i \in \{1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 16, 18, 20\}$, $j \in \{21, 23, 25, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 40\}$ mà $b + i \equiv j$ modulo 41. Chèn cặp số $(b, a)$ vào ngay sau $i$ là xong. | |
06-10-2018, 05:08 AM | #35 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2017 Bài gởi: 19 Thanks: 2 Thanked 3 Times in 3 Posts | Với mỗi số nguyên dương $k$ cho trước và số nguyên tố $p$ bất kỳ, theo định lý Fermat bé ta có\[{2^{kp}} \equiv {2^k}\quad \left( {\bmod p} \right).\]Do $P(x)\in\mathbb Z[x]$ nên kéo theo\[0 \equiv P\left( {{2^{kp}}} \right) \equiv P\left( {{2^k}} \right)\quad \left( {\bmod p} \right).\]Từ đó, $P\left( {{2^k}} \right)=0\;\forall\,k\in\mathbb Z^+$, tức là $P(x)$ có vô số nghiệm thực nên kéo theo $P(x)=0\;\forall\,x$. |
11-10-2018, 10:24 PM | #36 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2018 Bài gởi: 16 Thanks: 7 Thanked 1 Time in 1 Post | Bài 5 phần số học: Xét dãy $(c_n)$ thỏa mãn:$c_0=1,c_1=2,c_2=5,c_{n+2}=3c_{n+1}-c_{n}$ Dễ thấy mọi phần tử của dãy đều là số nguyên Theo quy nạp,ta có:$a_n=c_n^2-1$ với mọi $n \in Z^+$ =>$a_n+5=c_n^2+4$ do 2027 có ước nguyên tố dạng $4k+3$ nên2027 không là ước của $c_n^2+4=a_n+5$ với mọi $n \in Z^+$ thay đổi nội dung bởi: anysu, 11-10-2018 lúc 10:27 PM |
12-10-2018, 02:47 PM | #37 |
Café Noir Tham gia ngày: Sep 2008 Bài gởi: 5 Thanks: 1 Thanked 5 Times in 2 Posts | Với $x=8p\left(8p^2+1\right)$, có luôn\[{x^3} + x + p = p{\left( {512{p^4} + 96{p^2} + 3} \right)^2}.\] |
13-10-2018, 08:30 AM | #38 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2018 Bài gởi: 28 Thanks: 14 Thanked 2 Times in 2 Posts | Bài 8 phần số học:Ta có thể tổng quát hóa kết quả bài toán như sau: Cho 2 đa thức $P(x),Q(x) \in Z[x]$ thỏa mãn $P,Q$ nguyên tố cùng nhau.Đặt $a_n=(|P(n)|,|Q(n)|) \forall n\in Z^+$,khi đó dãy $a_n$ tuần hoàn CM: Do $P,Q$ ntcn,nên tồn tại $R,S\in Z[x]$ sao cho $PR+QS=c$ Do đó $a_n|c \forall n$ Mặt khác $P(n+c)=P(n)(mod c),Q(n+c)=Q(n)(mod c)$,tồn tại $a,b$ để $aP(n)+bQ(n)=a_n=aP(n+c)+b(Q(n+c)(mod c)$ nên $a_n=aP(n+c)+bP(n+c)(mod a_{n+c})$ hay $a_{n+c}|a_n$hoàn toàn tương tự ta cx có $a_n|a_{n+c}$ nên dãy $a_n$ tuần hoàn chu kì $c$ thay đổi nội dung bởi: sieunhanbachtang, 13-10-2018 lúc 08:33 AM |
Bookmarks |
|
|