|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
01-10-2018, 07:01 PM | #38 | |
Moderator Tham gia ngày: Oct 2017 Đến từ: THPT Chuyên Bảo Lộc Bài gởi: 17 Thanks: 51 Thanked 10 Times in 7 Posts | Trích:
Giả sử tồn tại hàm $f\left( x \right)$ khác hằng thỏa mãn: \[f(f(x)-y^2)=f(x^2)+y^2f(y)-2f(xy),\quad\forall x,y\in \mathbb{R} \quad(1).\] Lúc đó: Trong $(1)$ thay $y=1$ ta có: \[f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = f\left( {{x^2}} \right) + f\left( 1 \right) - 2f\left( x \right), \quad\forall x\in \mathbb{R} \quad(2).\] Thay $y=-1$ vào $(1)$ ta lại được: \[f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = f\left( {{x^2}} \right) + f\left( -1 \right) - 2f\left(- x \right), \quad\forall x\in \mathbb{R} \quad(3).\] Do đó, từ $(2)$ và $(3)$ ta có: \[2f\left( x \right) + f\left( { - 1} \right) = 2f\left( { - x} \right) + f\left( 1 \right), \quad\forall x\in \mathbb{R} \quad(4).\] Trong $(4)$, cho $x=1$ ta có $f\left( 1 \right) = f\left( { - 1} \right)$ nên $(4)$ tương đương với: \[f\left( x \right) = f\left( { - x} \right), \quad\forall x\in \mathbb{R}.\] Thay $x=y=1$ vào $(1)$ ta có: $f\left( {f\left( 1 \right) - 1} \right) = 0$, do đó tồn tại số thực $a$ sao cho $f\left( a \right) = 0.$ Thay $x=a$, $y=0$ vào $(1)$ ta có: $f\left( 0 \right) = - 2f\left( 0 \right)$, suy ra $f\left( 0 \right) = 0.$ Thay $x=a$ vào $(1)$ ta có: \[f\left( {{y^2}} \right) = {y^2}f\left( y \right),\quad\forall y\in \mathbb{R} \quad(5).\] Thay $x=0$ vào $(1)$ ta lại có:\[f\left( {{y^2}} \right) = {y^2}f\left( y \right) - 2f\left( {ay} \right),\quad\forall y\in \mathbb{R} \quad(6).\] Từ $(5)$ và $(6)$ ta có: \[f\left( {ay} \right) = 0,\quad\forall y\in \mathbb{R} \quad(7).\] Suy ra $f\left( x \right)=0$ khi và chỉ khi $x=0$, bởi nếu không, do $a$ khác $0$ nên đẳng thức $(7)$ tương đương với $f\left( x \right) \equiv 0,\forall x\in \mathbb{R}$, vô lý!! Tiếp tục thay $y$ bởi $x$ vào $(1)$ ta được: \[f\left( {f\left( x \right) - {x^2}} \right) = 0,\forall x\in \mathbb{R}.\] Suy ra $f\left( x \right) = {x^2},\forall x\in \mathbb{R}$. Thử lại, ta kết luận phương trình có 2 nghiệm hàm $f\left( x \right) \equiv 0,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( x \right) = {x^2},\forall x\in \mathbb{R}$. thay đổi nội dung bởi: ncthanh, 01-10-2018 lúc 07:03 PM | |
Bookmarks |
|
|