Một vài bài tập Giải tích hàm

[Acomp]

Kỳ này em học Giải tích hàm, bác nào có hứng thì làm vài bài tập :hornytoro:

1. Cho X là không gian vector topo. Chứng minh X là không gian chính quy và là không gian topo liên thông.

2.Cho $0<p<1 $ và xét
$l^p = \{x=(x_n)\subset\mathbb{R} : \sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^p<\infty\} $
Chứng minh $l^p $ là không gian vector metric đầy và không lồi địa phương.

3.X là không gian vector topo metric. U là tập cân hấp thụ (hay còn gọi là hút) mọi dãy hội tụ tới 0. Chứng minh U là lân cận của $0\in X $
Tập U gọi là hấp thụ tập B nếu tồn tại $\varepsilon > 0 $ sao cho với mọi $|t|<\varepsilon $ thì $tB\subset U $

4.$X $ là không gian vector metric, và $\{B_n\} $ là dãy các tập bị chặn trong $X $. Chứng minh tồn tại tập bị chặn $B $ trong $X $ sao cho với mọi $n\geq 1 $ tồn tại $\varepsilon_n>0 $ sao cho $\varepsilon_n B_n \subset B $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]