Thảo luận: Trao đổi kinh nghiệm giải phương trình hàm

[Ng_Anh_Hoang]

Nguyên văn bởi tranghieu95

Dễ thấy $f$ là hàm đơn ánh.
Cho $x=y=0$ thì $f(f(0))=f(0) \Rightarrow f(0)=0$
Cho $y=0 \Rightarrow f(f(x))=x \Rightarrow f$ là hàm song ánh.
Ta có: $f(f(x)+y)=f(f(x))+f(y) \Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)$
Dễ thấy $f(nx)=nf(x), \forall n \in \mathbb{N}$
$\Rightarrow f(1)=n.f \left(\dfrac{1}{n} \right) \Rightarrow f \left(\dfrac{1}{n} \right)=\dfrac{f(1)}{n}$
Với $x=\dfrac{m}{n}, m, n \in \mathbb{N}; (m; n)=1$ thì
$f(x)=mf \left(\dfrac{1}{n} \right)=\dfrac{m}{n}.f(1)$
$\Rightarrow f(x)=xf(1)=ax, \forall x \in \mathbb{Q}, a$ là hằng số.
Thay vào gt ta đc $a= \pm 1$

Cảm ơn bạn. Cho mình hỏi tại sao $f(f(0))=f(0) \Rightarrow f(0)=0$? Và tại sao phải chứng minh hàm song ánh? Từ sau phần $f(x+y)=f(x)+f(y)$ chỉ dùng đến PT hàm Cauchy thôi mà?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranghieu95]

Nguyên văn bởi Ng_Anh_Hoang

Cảm ơn bạn. Cho mình hỏi tại sao $f(f(0))=f(0) \Rightarrow f(0)=0$? Và tại sao phải chứng minh hàm song ánh? Từ sau phần $f(x+y)=f(x)+f(y)$ chỉ dùng đến PT hàm Cauchy thôi mà?

$f(f(0))=f(0) \Rightarrow f(0)=0$ do hàm đơn ánh
Còn cm hàm toàn ánh để có thể suy ra đc $f(x+y)=f(x)+f(y)$ từ $f(f(x)+y)=f(f(x)+f(y)$ vì nếu hàm ko toàn ánh thì chưa hẳn đã tồn tại t với mọi x để $x=f(t)$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[JokerNVT]

Bài 22:Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa
$f(x^2-y^2)=xf(y)-yf(x)$ với mọi $x;y\in \mathbb{R}$
Mình giải được tới đây thì không biết phải biện luận thêm làm sao nữa:
Cho $x=y=0$, ta có $f(0)=0$
Cho $x=-y$, ta có:
$0=xf(-x)+xf(x)\Leftrightarrow f(x)=-f(-x)$
$\Rightarrow f$ là hàm lẻ. Do đó ta chỉ xét với $x,y\ge 0$
Cho $y=0\Rightarrow f(x^2)=0\Rightarrow f(x)\equiv 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Thử lại thấy đúng.
Tới đây các bạn giúp mình với
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TrauBo]

TrauBo đang có một chút thắc mắc về bài phương trình hàm của TP HCM năm ngoái, xin mọi người giúp đỡ.

Bài 23: Tìm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa $$f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4yf(x) \ \forall x, y \in \mathbb{R}$$

Cảm ơn các bạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pth_tdn]

Nguyên văn bởi TrauBo

TrauBo đang có một chút thắc mắc về bài phương trình hàm của TP HCM năm ngoái, xin mọi người giúp đỡ.

Bài 23: Tìm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa $$f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4yf(x) \ \forall x, y \in \mathbb{R}$$
Thay
Cảm ơn các bạn.

Thay $y=\frac{x^2-f(x)}{2} $ thì
$f(\frac{f(x)+x^2}{2})=f(\frac{x^2+f(x)}{2})+4f(x). \frac{x^2-f(x)}{2} $.
Do đó $f(x).(x^2-f(x))=0 $ với mọi x.
Suy ra với mỗi x thì hoặc $f(x)=0 $ hoặc $f(x)=x^2 $.
Trường hợp $f \equiv 0 $ với mọi x thỏa, trường hợp $f=x^2 $ với mọi x thỏa.
Chú ý rằng $f(0)=0=0^2 $
Giả sử tồn tại $x_0 $ sao cho $f(x_0)=0 $ và $x_1 $ sao cho $f(x_1)=x_1^2 $, $x_0 $ và $x_1 $ khác 0.
$\Rightarrow 0=f(x_0)=f(x_1^2+x_0-x_1^2)=f(f(x_1)+x_0-x_1^2)=f(2x_1^2-x_0)+4(x_0-x_1^2).x_1^2 $
$\Rightarrow f(2x_1^2-x_0)=4(x_1^2-x_0).x_1^2 $.
*$0=4(x_1^2-x_0).x_1^2 \Rightarrow x_0=x_1^2 $ hay $ x_1=0 \Rightarrow x_0=x_1^2 (1) $.
Nếu có nhiều hơn một số mà giá trị hàm số tại đó bằng 0 thì từ (1) suy ra vô lí.
Như vậy phải có vô hạn số mà tại đó giá trị của f bằng số đó bình phương, giả sử là $x_2, x_3,... $ thì $x_0=x_1^2=x_2^2=x_3^2=... $ suy ra vô lí.
*$(2x_1^2-x_0)^2=4(x_1^2-x_0).x_1^2 \Rightarrow x_0=0 $, loại.
Vậy $f(x)=0 $ với mọi x hoặc $f(x)=x^2 $ với mọi x.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[JokerNVT]

Nguyên văn bởi TrauBo

TrauBo đang có một chút thắc mắc về bài phương trình hàm của TP HCM năm ngoái, xin mọi người giúp đỡ.

Bài 23: Tìm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa $$f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4yf(x) \ \forall x, y \in \mathbb{R}$$

Cảm ơn các bạn.

Đặt $f(0)=a$
*Cho $x=y=0$, ta có:
$f(a)=a$
*Cho $x=0,y=-a$, ta có:
$a=f(a)-4a^2$
$\Rightarrow a=a-4a^2$
$\Rightarrow a=f(0)=0$
*Cho $y=x^2$, ta có:
$f(f(x)+x^2)=4x^2f(x)$
*Cho $y=-f(x)$, ta có:
$0=f(x^2+f(x))-4(f(x))^2$
$\Rightarrow x^2f(x)=(f(x))^2$
$\Rightarrow f(x)\equiv 0$ hay $f(x)=x^2$
Mặt khác cho $x=0$ ta có: $f(y)=f(-y)$ nên $f$ là hàm chẵn
Giả sử tồn tại $a,b \in \mathbb{R*}$ sao cho $f(a)=0, f(b)=b^2$, thay $x=a,y=-b$, ta có:
$f(-b)=f(b)=f(a^2+b)=b^2$
Nếu $f(a^2+b)=0 \Rightarrow b=0$ (mâu thuẫn)
Nếu $f(a^2+b)=(a^2+b)^2\Rightarrow a^2=-b\Rightarrow b<0$
*Cho $x=a, y=b$, ta có:
$f(a^2-b)=b^2$
Nếu $f\equiv 0$ ta suy ra điều mâu thuẫn
Nếu $f(a^2-b)=(a^2-b)^2=b^2\Rightarrow a^2=b \Rightarrow b>0$
Từ 2 điều trên ta suy ra điều vô lý
Vậy $f$ không đồng nhất với 2 hàm số trên
Thử lại thấy 2 hàm số đều thỏa
Vậy $f(x)\equiv 0 \forall x\in \mathbb{R}$ hay $f(x)=x^2 \forall x \in \mathbb{R}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[trungnhan05]

Các anh ơi cho em hỏi tại sao hàm $f\left ( f\left ( x \right ) \right ) $ lại là song ánh.Phiền các anh chỉ rõ và cho ví dụ cụ thể thế nào là song ánh,toàn ánh,đơn ánh.Em đọc sách thầy Tuấn mà còn thấy mù mờ quá.Mong các anh chỉ giáo thêm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TrauBo]

Nguyên văn bởi JokerNVT

Nếu $a=\sqrt{b}\Rightarrow f(a)=f(\sqrt{b})=0=b$ (vô lý)
Nếu $a=-\sqrt{b}\Rightarrow f(a)=f(-\sqrt{b})=0=-b$ (vô lý)
Vậy $f$ không đồng nhất với 2 hàm số trên
Thử lại thấy 2 hàm số đều thỏa
Vậy $f(x)\equiv 0 \forall x\in \mathbb{R}$ hay $f(x)=x^2 \forall x \in \mathbb{R}$

Cảm ơn bạn. Đoạn này TrauBo thắc mắc một chút là tại sao có $0=f(a)=f(\sqrt{b})=b$? Theo TrauBo hiểu thì khi giả sử có $b \ne 0$ mà $f(b)=b^2$ thì $b$ là hằng số, do đó không thể thay $b \to \sqrt{b}$ để có $f(b)=\sqrt{b}$ được.

Nguyên văn bởi trungnhan05

Các anh ơi cho em hỏi tại sao hàm $f\left ( f\left ( x \right ) \right ) $ lại là song ánh.Phiền các anh chỉ rõ và cho ví dụ cụ thể thế nào là song ánh,toàn ánh,đơn ánh.Em đọc sách thầy Tuấn mà còn thấy mù mờ quá.Mong các anh chỉ giáo thêm

Ý của bạn là từ $f(f(x))=x$ thì suy ra $f(x)$ song ánh à? Định nghĩa thì bạn cứ học theo sách thầy Tuấn là được rồi. Còn khi áp dụng thì chỉ cần nhớ vài điều:

_ Để chứng minh $f(x)$ đơn ánh ta có thể: (1) giả sử $x_1 \ne x_2$ rồi chứng minh $f(x_1) \ne f(x_2)$ hoặc (2) giả sử $f(x_1)=f(x_2)$ rồi chứng minh $x_1=x_2$. Thường dùng (2) nhiều hơn vì dấu $=$ đẹp hơn dấu $\ne$

_Để chứng minh $f(x)$ toàn ánh ta cần có $f(t)=g(t)$ trong đó $g(t)$ nhận mọi giá trị trên tập giá trị của $f$. $g(t)$ thường là đa thức bậc lẻ. $t$ ở đây có thể là 1 biểu thức theo $x$.

Như vậy từ $f(f(x))=x$, do vế phải là biểu thức bậc nhất nên nhận mọi giá trị trên $\mathbb{R}$, từ đó $f$ toàn ánh.
Lại có nếu $f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow f(f(x_1))=f(f(x_2)) \Rightarrow x_1=x_2$ do đó $f$ đơn ánh.
Vậy $f$ song ánh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thanhorg]

Nguyên văn bởi TrauBo

Cảm ơn bạn. Đoạn này TrauBo thắc mắc một chút là tại sao có $0=f(a)=f(\sqrt{b})=b$? Theo TrauBo hiểu thì khi giả sử có $b \ne 0$ mà $f(b)=b^2$ thì $b$ là hằng số, do đó không thể thay $b \to \sqrt{b}$ để có $f(b)=\sqrt{b}$ được.

Mình xử lý đoạn sau bằng cách sau :

Gỉa sử tồn tại $a,b \neq 0 $ sao cho $\begin{cases} f(a) = 0 \\ f(b) =b^2 \end{cases} $

Khi đó Thay $x =a ,y = b $ vào giả thiết ta có $f(a^2 - b) = f(b) = b^2 $

Suy ra $(a^2 - b)^2 = b^2 $ (1)

Thay $x =a ,y=- b $ ta lại có $f(a^2+b) =f(b) = b^2 $

nên Suy ra $(a^2 + b)^2 = b^2 $ (2)

Từ (1) và (2) ta có ngay Vô lý.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[JokerNVT]

Có lẽ mình nhầm lẫn phần này. Nếu vậy ta sẽ lập luận thêm rằng:
*Cho $x=a, y=b$, ta có:
$f(a^2-b)=b^2$
Nếu $f\equiv 0$ ta suy ra điều mâu thuẫn
Nếu $f(a^2-b)=(a^2-b)^2=b^2\Rightarrow a^2=b \Rightarrow b>0$
. Mình đã sửa lại ở trên
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Ng_Anh_Hoang]

Cho mình hỏi bài này:
Bài 24: (Brazil 1993)
Tìm một hàm $f:\mathbb{R^+} \to \mathbb{R}$ thỏa $$\begin{cases} f(0)=0 \\ f(2x+1)=3f(x)+5 \ \forall x \ge 0 \end{cases}$$
Đáp án chỉ ra $f(x)=\dfrac{5}{2}(3^n-1)$ với $2^n-1 \le x <2^{n+1}-1$
Cho mình hỏi làm sao tìm được $f$ như thế?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranghieu95]

Nguyên văn bởi Ng_Anh_Hoang

Cho mình hỏi bài này:
Bài 24: (Brazil 1993)
Tìm một hàm $f:\mathbb{R^+} \to \mathbb{R}$ thỏa $$\begin{cases} f(0)=0 \\ f(2x+1)=3f(x)+5 \ \forall x \ge 0 \end{cases}$$
Đáp án chỉ ra $f(x)=\dfrac{5}{2}(3^n-1)$ với $2^n-1 \le x <2^{n+1}-1$
Cho mình hỏi làm sao tìm được $f$ như thế?

Bn tham khảo lời giải ở đây
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[High high]

Nguyên văn bởi chungmathkb

Tôi đưa lên đây hai lời giải. Không biết có lời giải nào giống với trong sách thầy Tuấn không ?
Cách 1 :
Từ (2) cho $x=y=0$ được $f(0)=1$.
Từ (1) cho $x=-1$ suy ra $f(-1)=0$. Từ (2) cho $x=1$ và $y=-1$ được
$f(1) + f( - 1) = 1 + f(0)$, suy ra $f(1)=2$.
Từ (2) thay $y$ bởi $-x$ được $f(x) + f( - x) = 2 \Leftrightarrow f( - x) = 2 - f(x).$ Ta thu được các tính chất của hàm $f$ như sau :
\begin{align*}
&f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{{f(x)}}{x},\,\,\forall x \ne 0.\\
&f( - x) = 2 - f(x),\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\\
&f(x + 1) = f(x) + 1,\,\,\forall x \in \mathbb{R}.
\end{align*}Đặt $y=f(x)$. Khi đó $f(x + 1) = y + 1$ và
\begin{align*}
&f\left( {\dfrac{1}{{x + 1}}} \right) = \dfrac{{y + 1}}{{x + 1}},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} f\left( { - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right) = 2 - \dfrac{{y + 1}}{{x + 1}} = \dfrac{{2x - y + 1}}{{x + 1}}\\
&f\left( {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right) = f\left( { - \dfrac{1}{{x + 1}} + 1} \right) = \dfrac{{2x - y + 1}}{{x + 1}} + 1 = \dfrac{{3x - y + 2}}{{x + 1}}\tag{3}\\
&f\left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} \right) = f\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right) = 1 + f\left( {\dfrac{1}{x}} \right) = 1 + \dfrac{y}{x} = \dfrac{{x + y}}{x}\\
&f\left( {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right) = f\left( {\dfrac{1}{{\dfrac{{x + 1}}{x}}}} \right) = \frac{{f\left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} \right)}}{{\dfrac{{x + 1}}{x}}} = \frac{{\dfrac{{x + y}}{x}}}{{\dfrac{{x + 1}}{x}}} = \dfrac{{x + y}}{{x + 1}}.\tag{4}
\end{align*}
Từ (3) và (4) suy ra
$$\frac{{3x - y + 2}}{{x + 1}} = \frac{{x + y}}{{x + 1}} \Leftrightarrow 3x - y + 2 = x + y \Leftrightarrow 2x + 2 = 2y \Leftrightarrow y = x + 1.$$
Vậy $f(x) = x + 1,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {0,-1} \right\}$. Kết hợp với
$f(0)=1$, $f(-1)=0$ ta được $f(x) = x + 1,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.
Thử lại thấy thoả mãn.
Cách 2: Ta có $f(0)=1$. Với $x\ne0$ ta có
\begin{align*}
f(x) &= f\left( {\frac{x}{2} + \frac{x}{2}} \right) = 2f\left( {\frac{x}{2}} \right) - 1 = 2.\frac{x}{2}f\left( {\frac{2}{x}} \right) - 1 = xf\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{x}} \right) - 1\\
&= x\left[ {2f\left( {\frac{1}{x}} \right) - 1} \right] - 1 = 2x.\frac{1}{x}f(x) - x - 1 = 2f(x) - x - 1.
\end{align*}
Suy ra $f(x) = x + 1,\,\,\forall x \ne 0$. Lại do $f(0)=1$ nên
$f(x) = x + 1,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$. Thử lại thấy thoả mãn.

Mình làm như thế này. Hy vọng không sai.
Ta có $f\left( x+1 \right)-f\left( x \right)=1$ lần lượt thay từ từ ta có
$$\left\{ \begin{align}
& f\left( x+1 \right)=f\left( x \right)+1 \\
& f\left( x \right)=f\left( x-1 \right)+1 \\
& f\left( x-1 \right)=f\left( x-2 \right)+1 \\
& .... \\
& f\left( 1 \right)=f\left( 0 \right)+1 \\
\end{align} \right.$$
Cộng vế theo vế lại, ta được $$f\left( x+1 \right)=f\left( 0 \right)+x+1$$ mà $f\left( 0 \right)=1$ nê n $f\left( x+1 \right)=x+2$
Hay $f\left( x \right)=x+1$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TrauBo]

Có dạng này khá lạ mọi người xem thử ạ.
Bài 25: Tìm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa $$f(x+y)=\dfrac{f(x)+f(y)}{1-f(x).f(y)}$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[High high]

Nguyên văn bởi TrauBo

Có dạng này khá lạ mọi người xem thử ạ.
Bài 25: Tìm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa $$f(x+y)=\dfrac{f(x)+f(y)}{1-f(x).f(y)}$$

Lời giải:
Vì $f$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ nên $f$ liên tục. Đặt $f(x)=\tan g(x)$ với $g$ là hàm liên tục từ $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$.
\[
\begin{array}{l}
VP = \frac{{f\left( x \right) + f\left( y \right)}}{{1 - f\left( x \right)f\left( y \right)}} = \frac{{\tan g\left( x \right) + \tan g\left( y \right)}}{{1 - \tan g\left( x \right)\tan g\left( y \right)}} = \tan \left( {g\left( x \right) + g\left( y \right)} \right) \\
VT = \tan g\left( {x + y} \right) \\
\Rightarrow g\left( {x + y} \right) \equiv g\left( x \right) + g\left( y \right)\left( {\bmod \pi } \right) \quad (*)\\
\end{array}
\]
Nhận xét rằng nếu $g$ thỏa (*) thì $g+k\pi$ cũng thỏa (*). Do đó, ta chỉ cần xét:
\[
g\left( {x + y} \right) = g\left( x \right) + g\left( y \right)
\]
Theo phương trình hàm Cauchy thì $g(x)=ax$ với $a\in \mathbb{R} \Rightarrow f(x)=\tan ax\quad \forall x$.
Thử lại:...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]