Chứng minh e và pi là các số vô tỉ

**huynhcongbang** · 08-06-2010, 10:14 PM

Trong chương trình Toán sơ cấp có 2 số nổi tiếng là $e $ và $\pi $. Mình cũng biết một số công thức cụ thể để tính chúng (tất nhiên là thông qua giới hạn). Chẳng hạn như:
$\pi = 6\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{i^2}) $, n tiến tới vô cực, $e = \sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{i!} $, n tiến tới vô cực. Nhưng mình không biết là có thể chứng minh được chúng là các số vô tỉ bằng kiến thức Toán sơ cấp được hay không. Mong được mọi người cho ý kiến!

hophinhan_LHP · 08-06-2010, 11:30 PM

[Only registered and activated users can see links. ]

[Only registered and activated users can see links. ]

@hình như hong có cái đẳng thức thứ 1 bạn ghi

**namdung** · 08-06-2010, 11:38 PM

Chứng minh e là vô tỷ khá đơn giản. Bạn có thể xem tại đây

http://mathforum.org/isaac/problems/eproof.html

Chứng minh Pi vô tỷ phức tạp hơn, có lẽ là khó tìm được chứng minh sơ cấp. Tham khảo 1 chứng minh ở đây

http://www.marts100.com/pirrational.htm

vinh1b · 09-06-2010, 11:49 AM

" $e + pi $ có vô tỷ không" ??

daudauvjem · 09-06-2010, 12:24 PM

Trích:

Nguyên văn bởi vinh1b

" $e + pi $ có vô tỷ không" ??

Nó đâu phải số thực đâu mà vô tỷ nhỉ?

vinh1b · 09-06-2010, 06:13 PM

Trích:

Nguyên văn bởi daudauvjem

Nó đâu phải số thực đâu mà vô tỷ nhỉ?

$e $ thuộc $R $, pi thuộc R thì $e + pi $ thuộc $R $ ( $R $ là trường mà)

daudauvjem · 09-06-2010, 06:39 PM

Trích:

Nguyên văn bởi vinh1b

$e $ thuộc $R $, pi thuộc R thì $e + pi $ thuộc $R $ ( $R $ là trường mà)

À mình nhầm với i là đơn vị ảo,do ở trên dùng ký hiệu, ở dưới dùng chữ nên mình nhầm

**namdung** · 10-06-2010, 01:53 PM

Trích:

Nguyên văn bởi vinh1b

" $e + pi $ có vô tỷ không" ??

e + pi cũng vô tỷ. Nhưng chứng minh khó hơn.

**huynhcongbang** · 10-06-2010, 03:18 PM

Hình như e và $\pi $ còn là các số siêu việt nữa (là các số không là nghiệm của đa thức có hệ số hữu tỉ nào cả) nên với các đa thức P(x, y) có hệ số hữu tỉ đều có $P(e, \pi) $ khác 0.
Nếu xét đa thức P(x, y) = x + y - a với a là số hữu tỉ nào đó thì rõ ràng $P(e, \pi) $ phải luôn khác 0 với mọi a, do đó $e + \pi $ cũng phải là số vô tỉ.

**namdung** · 10-06-2010, 03:28 PM

Trích:

Nguyên văn bởi huynhcongbang

Hình như e và $\pi $ còn là các số siêu việt nữa (là các số không là nghiệm của đa thức có hệ số hữu tỉ nào cả) nên với các đa thức P(x, y) có hệ số hữu tỉ đều có $P(e, \pi) $ khác 0.
Nếu xét đa thức P(x, y) = x + y - a với a là số hữu tỉ nào đó thì rõ ràng $P(e, \pi) $ phải luôn khác 0 với mọi a, do đó $e + \pi $ cũng phải là số vô tỉ.

Lý luận này của bạn sai rồi.

vinh1b · 10-06-2010, 08:30 PM

Trích:

Nguyên văn bởi namdung

e + pi cũng vô tỷ. Nhưng chứng minh khó hơn.

Thầy chỉ ra cách chứng minh được không?

**huynhcongbang** · 11-06-2010, 03:12 PM

Trích:

Nguyên văn bởi namdung

Lý luận này của bạn sai rồi.

Nhưng mà $ e, \pi $ là các số siêu việt nên nó không là nghiệm của đa thức có hệ số hữu tỉ nào là đúng phải không thầy? Em nghĩ chắc là lập luận bị sai ở chỗ xét đa thức hai biến, sai cơ bản như vầy thì phải xài cách khác thôi chứ không thể cải thiện được rồi.
À, bạn vinh1b cần chứng minh $ e + \pi $ là số vô tỉ chi vậy, chắc là phức tạp lắm đấy, đọc những chứng minh $ e, \pi $ là số vô tỉ không thôi đã cũng mệt lắm rồi, chắc có chứng minh được thì mình cũng khó tiếp thu nổi. À, sao không thử quan tâm đến những kết quả đẹp hơn như công thức đẹp này nè! Công thức nổi tiếng liên hệ giữa các giá trị cũng rất nổi tiếng.

$e^{i\pi}+1=0 $.

**dduclam** · 17-06-2010, 01:41 AM

Trích:

Nguyên văn bởi namdung

e + pi cũng vô tỷ. Nhưng chứng minh khó hơn.

Theo em biết bài toán "$e+\pi $ có là số vô tỉ hay không?" là một trong những bài toán chưa giải được của Lý thuyết số. Theo như lời thầy thì bài toán này đã được giải quyết?

mfx · 21-10-2010, 12:24 PM

Trích:

Nguyên văn bởi dduclam

Theo em biết bài toán "$e+\pi $ có là số vô tỉ hay không?" là một trong những bài toán chưa giải được của Lý thuyết số. Theo như lời thầy thì bài toán này đã được giải quyết?

chưa giải quyết đc k có nghĩ là k giải quyết đc. cái chưa giải quyết đc tất nhiên khó hơn những cái đã giải quyết đc rồi, k nhất thiết khó hơn thì phải là đã có cách giải quyết

Anne™ · 21-10-2010, 01:00 PM

CM $\pi $ vô tỉ:
[Only registered and activated users can see links. ]

08-06-2010, 10:14 PM	#1
huynhcongbang Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Ho Chi Minh City Bài gởi: 2,413 Thanks: 2,165 Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts	Chứng minh e và pi là các số vô tỉ Trong chương trình Toán sơ cấp có 2 số nổi tiếng là $e $ và $\pi $. Mình cũng biết một số công thức cụ thể để tính chúng (tất nhiên là thông qua giới hạn). Chẳng hạn như: $\pi = 6\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{i^2}) $, n tiến tới vô cực, $e = \sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{i!} $, n tiến tới vô cực. Nhưng mình không biết là có thể chứng minh được chúng là các số vô tỉ bằng kiến thức Toán sơ cấp được hay không. Mong được mọi người cho ý kiến!

08-06-2010, 11:30 PM	#2
hophinhan_LHP +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2008 Đến từ: 12CT_THPT Chuyên LHP_TPHCM Bài gởi: 226 Thanks: 199 Thanked 136 Times in 81 Posts	[Only registered and activated users can see links. ] [Only registered and activated users can see links. ] @hình như hong có cái đẳng thức thứ 1 bạn ghi __________________ ĐẠI HỌC THÔI !!!

08-06-2010, 11:38 PM	#3
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Chứng minh e là vô tỷ khá đơn giản. Bạn có thể xem tại đây http://mathforum.org/isaac/problems/eproof.html Chứng minh Pi vô tỷ phức tạp hơn, có lẽ là khó tìm được chứng minh sơ cấp. Tham khảo 1 chứng minh ở đây http://www.marts100.com/pirrational.htm

09-06-2010, 11:49 AM	#4
vinh1b +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2009 Đến từ: Đồng Lộc-HT Bài gởi: 236 Thanks: 123 Thanked 173 Times in 82 Posts	" $e + pi $ có vô tỷ không" ??

10-06-2010, 03:18 PM	#9
huynhcongbang Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Ho Chi Minh City Bài gởi: 2,413 Thanks: 2,165 Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts	Hình như e và $\pi $ còn là các số siêu việt nữa (là các số không là nghiệm của đa thức có hệ số hữu tỉ nào cả) nên với các đa thức P(x, y) có hệ số hữu tỉ đều có $P(e, \pi) $ khác 0. Nếu xét đa thức P(x, y) = x + y - a với a là số hữu tỉ nào đó thì rõ ràng $P(e, \pi) $ phải luôn khác 0 với mọi a, do đó $e + \pi $ cũng phải là số vô tỉ.

21-10-2010, 01:00 PM	#15
Anne™ +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Bài gởi: 187 Thanks: 32 Thanked 116 Times in 79 Posts	CM $\pi $ vô tỉ: [Only registered and activated users can see links. ]