|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
11-10-2011, 08:20 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2011 Đến từ: quang ngai Bài gởi: 93 Thanks: 82 Thanked 28 Times in 14 Posts | Topic về dãy số và giới hạn Mình xin chào các bạn. Mình muốn lập ra topic Dãy số và giới hạn để cùng nhau thảo luận và cùng bàn về các phương pháp giải các bài toán dạng này . Mình mong topic của mình được mọi người ủng hộ và bàn luận sôi nổi . Sau đây mình xin post 1 số bài : Bài 1: Cho dãy số ${a_n} $ được xác định bởi $a_{n+1}=\frac{a^2_n+c}{a_{n-1}} $ . Chứng minh rằng nếu $a_0,a_1 $và $\frac{a^2_0+a^2_1+c}{a_0a_1} $ là số nguyên thì $a_n $ là số nguyên với mọi $n $ Bài 2: Cho $a_1,a_2...a_n $ là dãy số thực thỏa mãn điều kiện $a_{m+n}\leq a_n+a_m $ với mọi $m,n $. Chứng minh rằng $a_n\leq ma_1+\left ( \frac{n}{m}-1 \right )a_m $với mọi $n\geq m $ thay đổi nội dung bởi: man1995, 11-10-2011 lúc 08:24 PM |
The Following 2 Users Say Thank You to man1995 For This Useful Post: | Caybutbixanh (03-08-2014), Trànvănđức (10-05-2013) |
11-10-2011, 08:24 PM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2011 Bài gởi: 1 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts | Bài 3: Dùng định nghĩa giới hạn dãy số để chứng minh rằng: $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{\(n+1}=1 $ thay đổi nội dung bởi: mathsv, 11-10-2011 lúc 10:04 PM |
11-10-2011, 10:04 PM | #3 |
Banned Tham gia ngày: Aug 2011 Đến từ: Trung tâm giáo dục thường xuyên tỉnh Ninh Thuận Bài gởi: 96 Thanks: 179 Thanked 20 Times in 15 Posts | Bài 1: Ta có thể chứng minh như sau. Bằng quy nạp dễ thấy :$a_{n+1}a_{n-1}-a_{n}^2=a_{n}a_{n-2}-a_{n-1}^2 \Rightleftarrow \frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{a_n}=\frac{a_n+a_{n-2}}{a_{n-1}}=...\frac{a_2+a_0}{a_1}=\frac{a_0^2+a_1^2+c}{a_ 0a_1} \in Z $ Vậy dãy đã cho nguyên |
The Following User Says Thank You to Lê Thế Long For This Useful Post: | khoile101 (18-12-2011) |
11-10-2011, 10:38 PM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2010 Đến từ: THPT Chuyên Vĩnh Phúc Bài gởi: 280 Thanks: 29 Thanked 361 Times in 123 Posts | Bài 4: Tìm giới hạn của dãy $x_n = \frac{n + 1}{2^{n + 1} } \left( {\frac{2^1 }{1} + \frac{2^2 }{2} + \frac{2^3 }{3} + \ldots + \frac{2^n }{n}} \right) $. Bài 5: Cho dãy $(x_n ):x_1 = a;x_{n + 1} = \frac{2x_n^3 - 2x_n^2 - 2}{3x_n^2 - 4x_n - 1} $. Chứng minh rằng với $\left| a \right| \ge 2 $ thì dãy hội tụ. Tìm giới hạn. thay đổi nội dung bởi: novae, 11-10-2011 lúc 10:42 PM |
The Following User Says Thank You to DaiToan For This Useful Post: | Lê Thế Long (20-10-2011) |
20-10-2011, 11:17 AM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2011 Đến từ: Đại học Kinh tế quốc dân Bài gởi: 61 Thanks: 5 Thanked 17 Times in 11 Posts | Bài 5. TH1.$a\geq2 $ $x_{n+1}-2=\frac{x_{n}(x_{n}-2)^{2}}{3x_{n}^{2}-4x_{n}-1}, x_{n+1}-x_{n}=\frac{(1-x_{n}^{2})(x_{n}-2)}{3x_{n}^{2}-4x_{n}-1} $ Từ 2 đẳng thức trên, bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được: $x_{n+1}<x_{n}, x_{n}\geq 2 $ Từ đó dãy có giới hạn hữu hạn. Đặt $a=\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} $ chuyển qua giới hạn ta tính được $a=2 $ TH2.$a\leq-2 $.Ta chứng minh rằng với $a\leq-1 $ thì dãy cũng có giới hạn hữu hạn! $x_{n+1}+1=\frac{(x_{n}+1)^{2}(2x_{n}-3)}{3x_{n}^{2}-4x_{n}-1},x_{n+1}-x_{n}=\frac{(1-x_{n}^{2})(x_{n}-2)}{3x_{n}^{2}-4x_{n}-1} $ Từ 2 đẳng thức trên, bằng quy nạp ta cũng dễ dàng chứng minh được:$x_{n+1}>x_{n}, x_{n}\leq -1 $ Từ đó cũng suy ra dãy có giới hạn hữu hạn. Đặt $a=\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} $ chuyển qua giới hạn ta tính được $a=-1 $ Bài toán được giải xong! |
20-10-2011, 11:37 AM | #6 | |
Moderator Tham gia ngày: Nov 2009 Bài gởi: 2,849 Thanks: 2,980 Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts | Trích:
$\boxed{{\frac{2^1 }{1} + \frac{2^2 }{2} + \frac{2^3 }{3} + \ldots + \frac{2^n }{n}}=\frac{2^n}{n}.\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{\binom{n-1}{k}}} $ Nên $x_n=\dfrac{n+1}{2n}.\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{\binom{n-1}{k}} $ Thấy rằng$\dfrac{n+1}{2n}\to \dfrac{1}{2} $ khi $n\to \infty $ Và $\dfrac{1}{\binom{n-1}{k}}\to 0 $ khi $n\to \infty $ và $k\neq 0,n-1\longrightarrow \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{\binom{n-1}{k}}\to 2. $ Do đó $x_n\to 1 $ khi $n\to\infty $. thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 20-10-2011 lúc 11:58 AM | |
The Following 3 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post: |
20-10-2011, 01:02 PM | #7 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2011 Đến từ: quang ngai Bài gởi: 93 Thanks: 82 Thanked 28 Times in 14 Posts | Bài 4 có thể giải thế này: Ta có $S_{n+1}= \frac{n+2}{2(n+1)}(S_n+1) $ và $S_{n+2}= \frac{n+3}{2(n+2)}(S_{n+1}+1) $ Từ đó $S_{n+2}-S_{n+1}=\frac{(n^2+4n+3)(S_{n+1}-S_{n})-S_n-1}{2(n+1)(n+2)} $ Rõ ràng ${S_n} $ là dãy lượng giác Do đó $\lim_{x \to \infty }S_n $ tồn tại . Kí hiệu là $S $ Từ $S_{n+1}= \frac{n+2}{2(n+1)}(S_n+1) $ $\Rightarrow S=\frac{1}{2}(S+1)\Leftrightarrow S=1 $ Vậy $\lim_{x \to \infty }S_n=1 $ ------------------------------ Mình xin post thêm 1 số bài Bài 6: Cho dãy ${x_n} $ với ${x_1}=a\neq -2 $ và $x_{n+1}=\frac{3\sqrt{2x_n^2+2}-2}{2x_n+\sqrt{2x_n^2+2}} $ Xét tính hội tụ nếu có và tìm giới hạn tùy theo trường hợp cuả a Bài 7: Cho dãy số ${u_n} $ với $u_1\in \mathbb{N} $ và$u_{n+1}=\frac{1}{2}ln(1+u_n^2)-2011 $ Chứng minh rằng dãy ${u_n} $ hội tụ thay đổi nội dung bởi: man1995, 20-10-2011 lúc 01:19 PM Lý do: Tự động gộp bài |
The Following User Says Thank You to man1995 For This Useful Post: | Lê Thế Long (20-10-2011) |
20-10-2011, 06:31 PM | #8 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2011 Đến từ: Đại học Kinh tế quốc dân Bài gởi: 61 Thanks: 5 Thanked 17 Times in 11 Posts | Bài 7. Ta có:$f(x)=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)-2011 $ là hàm số liên tục trên R và $\left | f'(x) \right |=\left | \frac{x}{1+x^2} \right |\leq \frac{1}{2},\forall x\in \mathbb{R} $ Mặt khác, nếu đặt $g(x)=x+2011-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)=x-f(x) $ thì ta có: $g(x) $ liên tục trong R và $g'(x)=\frac{x^2-x+1}{x^2+1}>0,\forall x\in \mathbb{R} $, $g(0).g(-2011)<0 $ Từ đó ta suy ra phương trình $f(x)=x $ có nghiệm duy nhất, kí hiệu nó là L Áp dụng định lý Lagrange, ta có: $\exists c\in \mathbb{R}:\left | u_{n+1}-L \right |=\left | f(u_n)-f(L) \right |=f'(c)\left | u_n-L \right | $ Suy ra $\left | u_{n+1}-L \right |\leq \frac{1}{2}\left | u_n-L \right | $.Từ đó ta được: $0\leq\left | u_{n}-L \right |\leq \left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}\left | u_1-L \right | $ Bất đẳng thức trên chứng tỏ: $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_n=L $, ta có đpcm! |
23-10-2011, 11:55 PM | #9 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2011 Đến từ: quang ngai Bài gởi: 93 Thanks: 82 Thanked 28 Times in 14 Posts | Xin post thêm 1 số bài mời mọi người tiếp tục thảo luận Bài 8: Cho $x_n=\left ( \frac{1}{2} \right )^n+\left ( \frac{2}{3} \right )^n+....+\left ( \frac{n-1}{n} \right )^n $. Tính $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x_n}{n} $ Bài9: Cho dãy$(u_n) $ thỏa mãn: $u_0=a\geq 0 $ và $u_{n}^2u_{n+1}+2u_{n+1}-6=0 ,\forall n\in \mathbb{N} $ Tồn tại hay không giá trị của $a $ để dãy $u_n $ có giới hạn hữu hạn ? |
24-10-2011, 11:48 AM | #10 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2010 Bài gởi: 66 Thanks: 560 Thanked 13 Times in 8 Posts | Trích:
| |
01-11-2011, 10:21 PM | #11 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2010 Đến từ: THPT Chuyên Vĩnh Phúc Bài gởi: 280 Thanks: 29 Thanked 361 Times in 123 Posts | bạn xem phai này |
05-04-2012, 08:47 PM | #12 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2011 Đến từ: KA - HT Bài gởi: 202 Thanks: 78 Thanked 133 Times in 68 Posts | Bài 8: Cho dãy $(x_n) $ thỏa mãn: $\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = a > 1 \\ 2012{x_{n + 1}} = x_n^2 + 2011{x_n} \\ \end{array} \right.\] $ Tìm $\[\lim \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{x_i}}}{{{x_{i + 1}} - 1}}} \] $. __________________ Không biết rồi sẽ ra sao nữa? Mà có ra sao cũng chẳng sao! |
10-04-2012, 11:25 AM | #13 | |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Mar 2010 Đến từ: Heaven Bài gởi: 887 Thanks: 261 Thanked 463 Times in 331 Posts | Trích:
Áp dụng bất đẳng thức trên dễ dàng suy ra $-\dfrac{n}{i-1} \le n \ln \left( \dfrac{i-1}{i}\right) \le -\dfrac{n}{i}, \: \forall i = \overline{1,n} $ Do hàm $f(x) = e^x $ là hàm đồng biến trên $ \mathbb{R} $ nên ra có $e^{-\frac{n}{i-1}} < \left(\dfrac{i-1}{i}\right)^n < e^{-\frac{n}{i}} $ Vì vậy, $\exists \xi_i \in \left[\dfrac{i-1}{n},\, \dfrac{i}{n}\right] $ để $e^{-\frac{n}{i-1}} < e^{\xi_i} < e^{\frac{n}{i}} $ Phân hoạch của $g(x) = e^{-1/x} $ thành n đoạn bằng nhau trên đoạn $[0, \, 1] $, ta thấy rằng $\lim_{n \to \infty} \dfrac{x_n}{n} = \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}\left(\dfrac{i-1}{i}\right)^n - \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = \displaystyle \int_0^1 e^{-1/x} \, \mathrm{d}x $ Công việc còn lại chỉ là tính [Only registered and activated users can see links. ] là xong. thay đổi nội dung bởi: sang89, 25-04-2012 lúc 08:41 AM | |
10-04-2012, 01:14 PM | #14 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2011 Đến từ: Khu ổ chuột có cái view nhìn ra biển Bài gởi: 74 Thanks: 52 Thanked 37 Times in 24 Posts | Trích:
Mình nghĩ chỗ này nếu bạn lấy hiệu như vậy thì nên tìm giá trị $n $ nào đó để cho $S_n > S_{n+1} $ rồi kết luận từ n trở đi thì dãy giảm. Mà dãy dương nên tồn tại giới hạn p/s Với lại bài này dùng stolz là ra ngay luôn ấy __________________ MỌI NGƯỜI ƠI VÀO GIẢI MẤY BÀI NÀY NÈ http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=39613 http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=39567 thay đổi nội dung bởi: cloner, 10-04-2012 lúc 11:09 PM | |
12-04-2012, 10:59 AM | #15 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2012 Bài gởi: 24 Thanks: 12 Thanked 7 Times in 5 Posts | |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|