Bài tập về định thức

[1054011023]

Hãy chỉ ra một định thức có giá trị lớn nhất cùng với giá trị của nó trong số các định thức cấp 3 mà các phần tử của chúng chỉ nhận một trong hai giá trị 1 hay -1.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Khai triển định thức theo dòng $= \sum_{i=1}^3 (-1)^{i+1}a_{1,i}A_{1|i} $, trong đó $A_{1|i} $ là định thức con cấp 2 bỏ dòng 1 và cột i. Nhận xét $A_{1|i} $ chia hết cho 2 và $|A_{1|i}|\le 2 $.

Do đó định thức ban đầu là số chẳn không vượt quá 6. Vét cạn lùi dần để tìm kq

Đang suy nghĩ ...
Ma trận như vậy không thể có định thức bằng 6 vì định thức bằng 6 khi và chỉ khi $A_{1|i}=2,a_{1,i}=(-1)^{i+1
}, \forall i=1,2,3 $
Tức $a_{1,1}=1, a_{1,2}=-1,a_{1,3}=1,a_{2,1}a_{3,2}=1=-a_{2,2}a_{3,1}=a_{2,2}a_{3,3}=-a_{2,3}a_{3,2}=a_{2,1}a_{3,3}=-a_{2,3}a_{3,1} $ suy ra: bình phương của tích các số dòng 2 và 3=-1 (!)
Có thể bằng 4 khi
$ \left[ \begin {array}{ccc} 1&1&1\\\noalign{\medskip}1&-1&-1\\\noalign{\medskip}-1&1&-1\end {array} \right] $

Đây là giá trị lớn nhất cần tìm!

Tổng quát thành ma trận cấp n thì sao? Hình như có bổ đề là định thức như vậy luôn chia hết cho 4. (?)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[batigoal]

Nguyên văn bởi 1054011023

Hãy chỉ ra một định thức có giá trị lớn nhất cùng với giá trị của nó trong số các định thức cấp 3 mà các phần tử của chúng chỉ nhận một trong hai giá trị 1 hay -1.

Nguyên văn bởi Galois_vn

Khai triển định thức theo dòng $= \sum_{i=1}^3 (-1)^{i+1}a_{1,i}A_{1|i} $, trong đó $A_{1|i} $ là định thức con cấp 2 bỏ dòng 1 và cột i. Nhận xét $A_{1|i} $ chia hết cho 2 và $|A_{1|i}|\le 2 $.

Do đó định thức ban đầu là số chẳn không vượt quá 6. Vét cạn lùi dần để tìm kq

Đang suy nghĩ ...
Ma trận như vậy không thể có định thức bằng 6 vì định thức bằng 6 khi và chỉ khi $A_{1|i}=2,a_{1,i}=(-1)^{i+1
}, \forall i=1,2,3 $
Tức $a_{1,1}=1, a_{1,2}=-1,a_{1,3}=1,a_{2,1}a_{3,2}=1=-a_{2,2}a_{3,1}=a_{2,2}a_{3,3}=-a_{2,3}a_{3,2}=a_{2,1}a_{3,3}=-a_{2,3}a_{3,1} $ suy ra: bình phương của tích các số dòng 2 và 3=-1 (!)
Có thể bằng 4 khi
$ \left[ \begin {array}{ccc} 1&1&1\\\noalign{\medskip}1&-1&-1\\\noalign{\medskip}-1&1&-1\end {array} \right] $

Đây là giá trị lớn nhất cần tìm!

Tổng quát thành ma trận cấp n thì sao? Hình như có bổ đề là định thức như vậy luôn chia hết cho 4. (?)

Vét cạn đến lúc nào đây bạn ? Mình trình bày 1 ý tưởng khác..

Do định thức cấp 3 nên theo khai triển Laplace thì giá trị định thức là tổng 6 số hạng : Để ý rằng:
$(a_{11}a_{22}a_{33})(a_{12}a_{23}a_{31})(a_{13}a_{ 21}a_{32})=-(-a_{11}a_{23}a_{32})(-a_{13}a_{22}a_{31})(-a_{12}a_{21}a_{33}) $
Do đó trong 6 số hạng sẽ phải có ít nhất 2 số trái dấu. mà các phần tử chỉ nhận gia trị 1 hoặc -1 nên định thức đạt lớn nhất bằng 4.

Chẳng hạn định thức sau:
$A= \left[ \begin {array}{ccc} -1&1&1\\\noalign{\medskip}1&-1&1\\\noalign{\medskip}1&1&-1\end {array} \right] $ .có DetA=4
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]