[VMO 2013] Bài 1 - Hệ phương trình

[thedragonray]

Nguyên văn bởi High high

------------------------------
Mình làm như sau:
$$20={{\left( \sqrt{{{\sin }^{2}}x+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}}+\sqrt{{{\cos }^{2}}y+\frac{1}{{{\cos }^{2}}y}} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{{{\sin }^{2}}y+\frac{1}{{{\sin }^{2}}y}}+\sqrt{{{\cos }^{2}}x+\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}} \right)}^{2}}$$
Mà ta có BĐT sau ${{\left( a+b \right)}^{2}}\le 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$
Áp dụng, ta có $$20\le 2\left( {{\sin }^{2}}x+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}+{{\sin }^{2}}y+\frac{1}{{{\sin }^{2}}y}+{{\cos }^{2}}y+\frac{1}{{{\cos }^{2}}y}+{{\cos }^{2}}x+\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \right)$$
Hay $$20\le 4+8\left( \frac{1}{{{\sin }^{2}}2x}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}2y} \right)\Leftrightarrow \frac{1}{{{\sin }^{2}}2x}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}2y}\ge 2$$
Đúng vì ${{\sin }^{2}}2x\le 1;{{\sin }^{2}}2y\le 1$
Dấu bằng xảy ra khi ${{\sin }^{2}}2x={{\sin }^{2}}2y=1$

Cho mình hỏi bạn chứng minh 1 hồi ra điều luôn đúng thì tại sao lại xảy ra dấu bằng được? ( ở đây bạn có $20\leq A$ và lại có $A\geq20$ là điều luôn đúng)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]