Phương trình hàm

nguyenmackhai · 15-07-2010, 08:43 PM

1/Tìm tất cả các hàm $f : R ->R $ thỏa

$f(2002x -f(0)) = 2002x^2 $

2/Cho a,b,c >0. Tìm tất cả các hàm$ f : R^+->R $ thỏa

$f(x) +af(\frac{b}{x})=cx $

shinomoriaoshi · 16-07-2010, 08:56 AM

Mình xin giải bài 2.
Đặt phương trình hàm đã cho là phương trình (1).
Trong (1), thay $x $ bởi $\frac{b}{x} $, ta được
$f(\frac{b}{x})+a.f(x)=\frac{bc}{x} $ (2)
Nhân (2) với $a $ rồi trừ phương trình vừa thu được cho (1), ta tìm được hàm số đã cho với $a $ khác 1 là:
$f(x)=\frac{abc-c.x^2}{x.(a^2-1)} $

**huynhcongbang** · 16-07-2010, 03:15 PM

Bài 1 cũng giải bằng phép thế tương tự.

Cho $x=\frac{f(0)}{2002} $, ta được:
$f(0)=\frac{(f(0)^2}{2002} $, suy ra:
$f(0)=0 $ hoặc $f(0)=2002 $.
- Nếu $f(0)=0 $, ta có:
$f(2002x)=2002x^2\Rightarrow f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{2002}} $. Thử lại thấy thỏa.
- Nếu $f(0)=2002 $ thì ta có:
$f(2002x-2002)=2002x^2 $.
Đặt $2002x-2002=t $ thì: $x=\frac{t}{2002}+1\Rightarrow 2002x^2=2002(\frac{t}{2002}+1)^2 $.
Do đó: $f(t)=2002(\frac{t}{2002}+1)^2 $, đổi thành biến x:
$f(x)=2002(\frac{x}{2002}+1)^2 $. Hàm số này cũng thỏa mãn đề bài.
Vậy có hai hàm số thỏa mãn đề bài là:
$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{2002}} $
$f(x)=2002(\frac{x}{2002}+1)^2 $

nguyen__ · 16-07-2010, 03:49 PM

$f(2002x)=2002x^2=\frac{(2002x)^2}{2002} \Rightarrow f(x)=\frac{x^2}{2002} $

Thế này có đúng ko ạ .
------------------------------
Cho em hỏi là nếu phải thay$ f(0) $ là $f(x) $ thì lời giải như vậy cũng đc ạ ?

**huynhcongbang** · 16-07-2010, 04:01 PM

À, đúng rồi! Phải là $f(x)=\frac{x^2}{2002} $ như em nói mới chính xác, lúc nãy anh biến đổi nhầm!
Nếu thay $f(0) $ thành $f(x) $ thì bài toán trở thành:
$f(2002-f(x))=2002x^2 $.
Bài này khó hơn bài đã cho nhiều, không biết có giải được không nữa!

nguyen__ · 16-07-2010, 04:06 PM

Trích:

Nguyên văn bởi huynhcongbang

À, đúng rồi! Phải là $f(x)=\frac{x^2}{2002} $ như em nói mới chính xác, lúc nãy anh biến đổi nhầm!
Nếu thay $f(0) $ thành $f(x) $ thì bài toán trở thành:
$f(2002-f(x))=2002x^2 $.
Bài này khó hơn bài đã cho nhiều, không biết có giải được không nữa!

PTH có cho chơi kiểu này ko ạ

thay $x=\frac{f(x)+x}{2002} $

------------------------------
các anh giúp em làm bài toán tổng quát ạ

Trích:

Tìm hàm số $f(x) $ xác định và liên tục trên D và thỏa mãn điều kiện :
$af(x)+f(bx)=cx $, ở đây $a,b,c \in D ,0 < |b| <1,|a| \ge 1 $ . Cách giải hoàn toàn tương tự ta được $f(x)=\frac{cx}{a+b} $.

Em lấy bài này ở mục giải PTH bằng chuyển qua giới hạn nhưng mà bài ví dụ ko có hệ số a còn bài này có hệ số a em ko bít cách nào để triệt tiêu các $af(x_2),af(x_3),af(x_4)...af(x_n) $ như thế nào ạ

help me

**truongvoki_bn** · 16-07-2010, 04:59 PM

Trích:

Nguyên văn bởi nguyen__

PTH có cho chơi kiểu này ko ạ

thay $x=\frac{f(x)+x}{2002} $

[/B]

Không được thay thế đâu em ạ. Như thế nghĩ là em đã thừa nhận $f(x)=2001x $ rùi em ạ. em chỉ có thể được thay x bởi 1 số thực hoặc là 1 biến hoặc hàm của biến khác ( đương nhiên biến đó không liên quan gì đến x VD trong pt có 2 biến là x và y em có thể thay x bởi y; -y; ay hoặc f(y)...) hoặc giá trị của hàm tại 1 số thực cụ thể nào đó.
Đó là theo anh được biết

nguyen__ · 16-07-2010, 05:22 PM

Trích:

Nguyên văn bởi truongvoki_bn

Không được thay thế đâu em ạ. Như thế nghĩ là em đã thừa nhận $f(x)=2001x $ rùi em ạ. em chỉ có thể được thay x bởi 1 số thực hoặc là 1 biến hoặc hàm của biến khác ( đương nhiên biến đó không liên quan gì đến x VD trong pt có 2 biến là x và y em có thể thay x bởi y; -y; ay hoặc f(y)...) hoặc giá trị của hàm tại 1 số thực cụ thể nào đó.
Đó là theo anh được biết

Vâng em hiểu rồi , anh giúp em bài tổng quát đi ạ
------------------------------

Trích:

Nguyên văn bởi truongvoki_bn

Không được thay thế đâu em ạ. Như thế nghĩ là em đã thừa nhận $f(x)=2001x $ rùi em ạ. em chỉ có thể được thay x bởi 1 số thực hoặc là 1 biến hoặc hàm của biến khác ( đương nhiên biến đó không liên quan gì đến x VD trong pt có 2 biến là x và y em có thể thay x bởi y; -y; ay hoặc f(y)...) hoặc giá trị của hàm tại 1 số thực cụ thể nào đó.
Đó là theo anh được biết

Vâng em hiểu rồi ạ , anh giúp em bài tổng quát đi ạ

h.vuong_pdl · 17-07-2010, 01:26 PM

@ nguyen: phương pháp chuyển qua giới hạn là một trong những phương pháp khá hay bạn à!!!!
Mình xin giải rất vắn tắt bài toán tổng quát trên của bạn:
Cố định $x \in R $. xét dãy số $x_n, x_1 = x, x_{n+1} = g(x_n), n \in N* $ với $g(x)=bx $
Bằng quy nạp $-> x_n = b^{n-1}x $ suy ra dãy ${x_n} $ là dãy cấp số lùi vô hạn $(0<b<1) $ với $x_1=x: q=b: lim x_n =0 $
Thay thế x lần lượt bởi $x_1, x_2, ... $.ta có:
$a.f(x_1) + f(x_2) = cx_2
a.f(x_2) + f(x_3) = cx_2
......................................
a.f(x_{n-1}) + f(x_n) = cx_{n-1} $
$=> a.f(x_1) + (-1)^n.f(x_n).\frac{1}{a^{n-2}} = \frac{ca.x_1}{a+b}(1+ (\frac{-b}{a})^{n-1}) $
Lấy giới hạn hai vế và sử dụng tính liên tục cả hàm số và f(0)=0 ta được $f(x) = \frac{cx}{a+b} $, mọi $x \in R $
Thử lại thấy hàm thỏa mãn -> KL

nguyen__ · 17-07-2010, 01:50 PM

Trích:

Nguyên văn bởi h.vuong_pdl

@ nguyen: phương pháp chuyển qua giới hạn là một trong những phương pháp khá hay bạn à!!!!
Mình xin giải rất vắn tắt bài toán tổng quát trên của bạn:
Cố định $x \in R $. xét dãy số $x_n, x_1 = x, x_{n+1} = g(x_n), n \in N* $ với $g(x)=bx $
Bằng quy nạp $-> x_n = b^{n-1}x $ suy ra dãy ${x_n} $ là dãy cấp số lùi vô hạn $(0<b<1) $ với $x_1=x: q=b: lim x_n =0 $
Thay thế x lần lượt bởi $x_1, x_2, ... $.ta có:
$a.f(x_1) + f(x_2) = cx_2
a.f(x_2) + f(x_3) = cx_2
......................................
a.f(x_{n-1}) + f(x_n) = cx_{n-1} $
$=> a.f(x_1) + (-1)^n.f(x_n).\frac{1}{a^{n-2}} = \frac{ca.x_1}{a+b}(1+ (\frac{-b}{a})^{n-1}) $
Lấy giới hạn hai vế và sử dụng tính liên tục cả hàm số và f(0)=0 ta được $f(x) = \frac{cx}{a+b} $, mọi $x \in R $
Thử lại thấy hàm thỏa mãn -> KL

Anh giải kĩ cho em chỗ triệt tiêu được không ạ ,em cần nhất chỗ ý ak

h.vuong_pdl · 17-07-2010, 02:07 PM

Chỗ triệt tiêu nào bạn nói rõ hơn được không??
Ở đây có nhiều chỗ triệt tiêu, bạn hỏi thế sao mình trả lời được

nguyen__ · 17-07-2010, 02:14 PM

Trích:

Nguyên văn bởi h.vuong_pdl

$\begin{cases}a.f(x_1) + f(x_2) = cx_2\\ a.f(x_2) + f(x_3) = cx_2\\ ......................................\\ a.f(x_{n-1}) + f(x_n) = cx_{n-1} \end{cases} $
$=> a.f(x_1) + (-1)^n.f(x_n).\frac{1}{a^{n-2}} = \frac{ca.x_1}{a+b}(1+ (\frac{-b}{a})^{n-1}) $

Chỗ này nè anh Vương .

$x_2 $ và$ x_3... $ đâu hết ạ

, em ko hỉu chỗ này ạ

h.vuong_pdl · 17-07-2010, 02:36 PM

Trích:

Nguyên văn bởi nguyen__

$x_2 $ và$ x_3... $ đâu hết ạ

, em ko hỉu chỗ này ạ

chỗ này đã được rút gọn hết rồi bạn à???
Thế này nha:
$a.f(x_1) + (-1)^n.f(x_n).\frac{1}{a^{n-2}} = c.x_1 - \frac{c.x_2}{a} + \frac{c.x_3}{a^2} -\frac{c.x_4}{a^3}+...+(-1)^n.\frac{c.x_{n-1}}{a^{n-2}} = c.x_1.(1-\frac{b}{a}+ \frac{b^2}{a^2} - \frac{b^3}{a^3} + \frac{b^4}{a^4} -.....+(-1)^n.\frac{b^{n-2}}{a^{n-2}}) = c.x_1.\frac{(1+(-1)^{n-1}.\frac{b^{n-1}}{a^{n-1}})}{1+\frac{b}{a}} = \frac{ca.x_1}{a+b}.(1+ (\frac{-b}{a})^{n-1}) $
Bạn hiểu chưa??????????

nguyen__ · 17-07-2010, 02:46 PM

Thanks anh ná, em hiểu rồi .

15-07-2010, 08:43 PM	#1
nguyenmackhai +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2008 Bài gởi: 52 Thanks: 18 Thanked 14 Times in 8 Posts	Phương trình hàm 1/Tìm tất cả các hàm $f : R ->R $ thỏa $f(2002x -f(0)) = 2002x^2 $ 2/Cho a,b,c >0. Tìm tất cả các hàm$ f : R^+->R $ thỏa $f(x) +af(\frac{b}{x})=cx $ thay đổi nội dung bởi: asimothat, 16-07-2010 lúc 05:55 AM

16-07-2010, 03:15 PM	#3
huynhcongbang Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Ho Chi Minh City Bài gởi: 2,413 Thanks: 2,165 Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts	Bài 1 cũng giải bằng phép thế tương tự. Cho $x=\frac{f(0)}{2002} $, ta được: $f(0)=\frac{(f(0)^2}{2002} $, suy ra: $f(0)=0 $ hoặc $f(0)=2002 $. - Nếu $f(0)=0 $, ta có: $f(2002x)=2002x^2\Rightarrow f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{2002}} $. Thử lại thấy thỏa. - Nếu $f(0)=2002 $ thì ta có: $f(2002x-2002)=2002x^2 $. Đặt $2002x-2002=t $ thì: $x=\frac{t}{2002}+1\Rightarrow 2002x^2=2002(\frac{t}{2002}+1)^2 $. Do đó: $f(t)=2002(\frac{t}{2002}+1)^2 $, đổi thành biến x: $f(x)=2002(\frac{x}{2002}+1)^2 $. Hàm số này cũng thỏa mãn đề bài. Vậy có hai hàm số thỏa mãn đề bài là: $f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{2002}} $ $f(x)=2002(\frac{x}{2002}+1)^2 $ __________________ Sự im lặng của bầy mèo thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 16-07-2010 lúc 03:20 PM

16-07-2010, 03:49 PM	#4
nguyen__ +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2009 Đến từ: TTGDTX-Đầm Dơi-Cà Mau Bài gởi: 65 Thanks: 63 Thanked 13 Times in 5 Posts	$f(2002x)=2002x^2=\frac{(2002x)^2}{2002} \Rightarrow f(x)=\frac{x^2}{2002} $ Thế này có đúng ko ạ . ------------------------------ Cho em hỏi là nếu phải thay$ f(0) $ là $f(x) $ thì lời giải như vậy cũng đc ạ ? thay đổi nội dung bởi: nguyen__, 16-07-2010 lúc 03:56 PM Lý do: Tự động gộp bài

16-07-2010, 04:01 PM	#5
huynhcongbang Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Ho Chi Minh City Bài gởi: 2,413 Thanks: 2,165 Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts	À, đúng rồi! Phải là $f(x)=\frac{x^2}{2002} $ như em nói mới chính xác, lúc nãy anh biến đổi nhầm! Nếu thay $f(0) $ thành $f(x) $ thì bài toán trở thành: $f(2002-f(x))=2002x^2 $. Bài này khó hơn bài đã cho nhiều, không biết có giải được không nữa! __________________ Sự im lặng của bầy mèo

16-07-2010, 08:56 AM	#2
shinomoriaoshi +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2010 Đến từ: Tuy Hòa Bài gởi: 198 Thanks: 198 Thanked 129 Times in 72 Posts	Mình xin giải bài 2. Đặt phương trình hàm đã cho là phương trình (1). Trong (1), thay $x $ bởi $\frac{b}{x} $, ta được $f(\frac{b}{x})+a.f(x)=\frac{bc}{x} $ (2) Nhân (2) với $a $ rồi trừ phương trình vừa thu được cho (1), ta tìm được hàm số đã cho với $a $ khác 1 là: $f(x)=\frac{abc-c.x^2}{x.(a^2-1)} $

17-07-2010, 01:26 PM	#9
h.vuong_pdl +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2010 Bài gởi: 56 Thanks: 18 Thanked 32 Times in 20 Posts	@ nguyen: phương pháp chuyển qua giới hạn là một trong những phương pháp khá hay bạn à!!!! Mình xin giải rất vắn tắt bài toán tổng quát trên của bạn: Cố định $x \in R $. xét dãy số $x_n, x_1 = x, x_{n+1} = g(x_n), n \in N* $ với $g(x)=bx $ Bằng quy nạp $-> x_n = b^{n-1}x $ suy ra dãy ${x_n} $ là dãy cấp số lùi vô hạn $(0<b<1) $ với $x_1=x: q=b: lim x_n =0 $ Thay thế x lần lượt bởi $x_1, x_2, ... $.ta có: $a.f(x_1) + f(x_2) = cx_2 a.f(x_2) + f(x_3) = cx_2 ...................................... a.f(x_{n-1}) + f(x_n) = cx_{n-1} $ $=> a.f(x_1) + (-1)^n.f(x_n).\frac{1}{a^{n-2}} = \frac{ca.x_1}{a+b}(1+ (\frac{-b}{a})^{n-1}) $ Lấy giới hạn hai vế và sử dụng tính liên tục cả hàm số và f(0)=0 ta được $f(x) = \frac{cx}{a+b} $, mọi $x \in R $ Thử lại thấy hàm thỏa mãn -> KL

17-07-2010, 02:07 PM	#11
h.vuong_pdl +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2010 Bài gởi: 56 Thanks: 18 Thanked 32 Times in 20 Posts	Chỗ triệt tiêu nào bạn nói rõ hơn được không?? Ở đây có nhiều chỗ triệt tiêu, bạn hỏi thế sao mình trả lời được

17-07-2010, 02:46 PM	#14
nguyen__ +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2009 Đến từ: TTGDTX-Đầm Dơi-Cà Mau Bài gởi: 65 Thanks: 63 Thanked 13 Times in 5 Posts	Thanks anh ná, em hiểu rồi .