Topic về dãy số và giới hạn

[kidlovecrazy]

Nguyên văn bởi man1995

Bài 6:
Cho dãy ${x_n} $ với ${x_1}=a\neq -2 $ và
$x_{n+1}=\frac{3\sqrt{2x_n^2+2}-2}{2x_n+\sqrt{2x_n^2+2}} $
Xét tính hội tụ nếu có và tìm giới hạn tùy theo trường hợp cuả a
Bài 7:
Cho dãy số ${u_n} $ với
$u_1\in \mathbb{N} $ và$u_{n+1}=\frac{1}{2}ln(1+u_n^2)-2011 $
Chứng minh rằng dãy ${u_n} $ hội tụ

Bài 6 ngoài cách chia khoảng rồi xét hàm thì còn cách nào đơn giản hơn không nhỉ ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[christan]

Bài 9: Cho dãy số $(u_{n}) $ xác định bởi $u_{1}=\frac{2011}{6} $ và $\sum_{1}^{n} \frac{u_{k}}{k}= \frac{n+1}{n}u_{n+1} $.
Tính $\lim (2011+n)u_{n} $.

Bài 10: Cho dãy số thực $(x_{n}) $ và $(y_{n}) $ hội tụ đến $a $ và b. Chứng minh:

$\lim\frac{\sum_{1}^{n}x_{k}y_{n+1-k}}{n}=ab $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[navibol]

Bài 9:
Tớ có giải ở đây bạn.
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[christan]

Nguyên văn bởi navibol

Mình giải thử nhé.
(1) tương đương:
$\frac{nf(n-1)}{2(n-1)}+\frac{f(n)}{n}=
\frac{(n+1)f(n)}{2n}
$
Suy ra:
$f(n)=n^{2}f(1)=\frac{2011n^2}{6} $
Do đó:$ limf(n)=+\infty
$
Suy ra ...

Cảm ơn bạn nhưng đề của mình là $ \frac{n+1}{n}u_{n+1} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sang89]

Nguyên văn bởi christan

Bài 10: Cho dãy số thực $(x_{n}) $ và $(y_{n}) $ hội tụ đến $a $ và b. Chứng minh:

$\lim\frac{\sum_{1}^{n}x_{k}y_{n+1-k}}{n}=ab $

Đề bài tương đương với $\lim_{n \to \infty} \dfrac{x_1y_n + x_2y_{n-1} + \ldots + x_ny_1}{n} = ab $

Để ý rằng, ta chỉ cần chứng minh trong trường hợp $\lim y_n = 0 $. Ta có

$\left| \dfrac{x_1y_n + x_2y_{n-1}+\ldots+x_ny_1}{n}\right| \le M \dfrac{|y_1|+ |y_2|+\ldots + |y_n|}{n} \rightarrow 0 $

Từ đó ta được điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[christan]

Bài 12: cho dãy $(u_{n}) $ xác định bởi:
$u_{0}=1,u_{1}=3 $
$u_{n+2}= 3u_{n+1}+u_{n} $
Chứng minh:
a,$u_{15}\vdots 17 $ nhưng không chia hết cho $17^{2} $
b,$\forall p\in \mathbb{P},p>5 $ thì $u_{p-2}u_{p}\vdots p $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thefallen]

Nguyên văn bởi sang89

Đề bài tương đương với $\lim_{n \to \infty} \dfrac{x_1y_n + x_2y_{n-1} + \ldots + x_ny_1}{n} = ab $

Để ý rằng, ta chỉ cần chứng minh trong trường hợp $\lim y_n = 0 $. Ta có

$\left| \dfrac{x_1y_n + x_2y_{n-1}+\ldots+x_ny_1}{n}\right| \le \left| \sup x_n \dfrac{y_1+y_2+\ldots + y_n}{n}\right| \rightarrow 0 $

Từ đó ta được điều phải chứng minh.

Cái bất đẳng thức trên chứng minh thế nào vậy anh?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sang89]

Nguyên văn bởi thefallen

Cái bất đẳng thức trên chứng minh thế nào vậy anh?

Anh nhầm tý.

$\left| \dfrac{x_1y_n+x_2y_{n-1} + \ldots + x_ny_1}{n}\right| \le \dfrac{|x_1y_n|+|x_2y_{n-1}|+\ldots+ |x_ny_1|}{n}
$

Để ý rằng $|x_n| $ bị chặn trên bởi $M $ nên ta có điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ablybaby]

Cho dãy $x_1=2, x_{n+1}=\sqrt{x_n+\frac{1}{n}}, \forall n\geq 1$. Tìm $\lim x_n^n$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ablybaby]

Cho dãy số thực $\left(x_n\right)$.Xét dãy $y_n=2x_{n+1}+sinx_n$.Chứng minh rằng nếy dãy $y_n$ hội tụ thì dãy $x_n$ hội tụ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ablrise]

Cho dãy số $x_1=1,x_{n+1}x_n=n,\forall n\geq 1$.Tìm $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}n^{\frac{-1}{2}}\left ( \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...\frac{1}{x_n} \right )$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[windH_VIP]

Có bạn cho mình hỏi dãy số tuần hoàn là gì?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguoibimat]

Em biết như vầy là sai, nhưng em muốn hõi các anh làm dãy số có phương pháp không ạ, hay chĩ là tư duy???Có gì các anh trả lời vào tin nhắn em nhá!!Em xin lỗi trước ạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sang89]

Nguyên văn bởi ablybaby

Cho dãy $x_1=2, x_{n+1}=\sqrt{x_n+\frac{1}{n}}, \forall n\geq 1$. Tìm $\lim x_n^n$.

Dùng quy nạp mạnh để chứng minh $x_n$ giảm lớn hơn 1 nên nó có giới hạn là 1. Từ đó suy ra giới hạn cần tìm là $\sqrt{e}$.

Nguyên văn bởi ablybaby

Cho dãy số thực $\left(x_n\right)$.Xét dãy $y_n=2x_{n+1}+sinx_n$.Chứng minh rằng nếy dãy $y_n$ hội tụ thì dãy $x_n$ hội tụ.

$x_n$ hội tụ vì nó bị kẹp giữa 2 dãy hội tụ

$\dfrac{y_n-1}{2} \le x_{n+1} \le \dfrac{y_n+1}{2}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ablybaby]

Nguyên văn bởi sang89

Dùng quy nạp mạnh để chứng minh $x_n$ giảm lớn hơn 1 nên nó có giới hạn là 1. Từ đó suy ra giới hạn cần tìm là $\sqrt{e}$.

Bạn có thể chỉ rõ vì sao giới hạn của $x_n^n$ là $\sqrt{e}$ không?Mình nghĩ nó không thể là $\sqrt{e}$,vì bằng quy nạp ta có $x_n\geq
1+\frac{1}{n}$ nên $\lim x_n^n\geq e>\sqrt{e}$

Nguyên văn bởi sang89

$x_n$ hội tụ vì nó bị kẹp giữa 2 dãy hội tụ

$\dfrac{y_n-1}{2} \le x_{n+1} \le \dfrac{y_n+1}{2}$

Bạn có thể giải thích chỗ này được không,vì mình thấy dãy $x_n$ bị kẹp chưa thể suy ra hội tụ,vi có ví dụ $-\dfrac{n+1}{n}<\left( -1\right)^n<\dfrac{n+1}{n}$,nhưng dãy $\left( -1\right)^n$ không hội tụ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]