Các bất đẳng thức về đường phân giác và những yếu tố liên quan.

[Minh Tuấn]

Cho đường tròn tâm I nội tiếp trong tam giác ABC. Kí hiệu a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh BC, CA, AB và $l_a, l_b, l_c $ lần lượt là độ dài ba đường phân giác xuất phát từ ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

Bài 1: CMR:$ 3\sqrt{3}IA.IB.IC \leq abc $

Bài 2: CMR:$\frac{IA.IB.IC}{aIA^2+bIb^2+cIC^2}\leq \frac{1}{3\sqrt{3}} $

Bài 3: CMR:$IA+IB+IC<\frac{\sqrt{2}}{2}(a+b+c) $
Bài 4: CMR:$l_a+l_b+l_c\leq \frac{\sqrt{3}}{2}(a+b+c) $

Bài 5: CMR:$\frac{l_a+l_b}{c}+\frac{l_b+l_c}{a}+\frac{l_a+l_c} {b}\leq 3\sqrt{3} $

Bài 6: CMR:$\frac{l_a}{b+c}+\frac{l_b}{c+a}+\frac{l_c}{a+b}\le \frac{3\sqrt{3}}{4} $

Bài 7: CMR:$\frac{ab}{l_c}+\frac{bc}{l_a}+\frac{ca}{l_b}\leq 6R $

Bài 8: CMR:$\frac{1}{l_a}+\frac{1}{l_b}+\frac{1}{l_c}<\sqrt{2} (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) $

Bài 9: CMR:$\frac{1}{l_a}+\frac{1}{l_b}+\frac{1}{l_c}>\frac{1} {a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} $

Bài 10: CMR:$l_al_bl_c\leq abccos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) $

Bài 11:CMR:$\frac{p^2+r^2+ 4Rr}{2R} \leq l_a+l_b+l_c \leq min \begin{Bmatrix} p\sqrt{3},4R+r \end{Bmatrix} $(ma 29 post)

Bài 12:CMR:$\frac{2p^2r^2}{R} \leq l_al_bl_c \leq min \begin {Bmatrix} p^2r,\frac{27R^3}{8} \end{Bmatrix} $ (ma 29 post)

Bài 13: Gọi I, O là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi $A_1, B_1, C_1 $ là giao điểm của AI, BI, CI với đường tròn (O). CMR:

a)$IA_1+IB_1+IC_1\geq IA+IB+IC $
b)$\frac{1}{IA_1}+\frac{1}{IB_1}+\frac{1}{IC_1}\geq \frac{3}{R} $

Bài 14:CMR:$\frac{1}{l_a}+\frac{1}{l_b}+\frac{1}{l_c}\leq \frac{1}{r} $

Bài 15:CMR:$\frac{l_a^2} {bc} +\frac{l_b^2}{ca} +\frac{l_c^2}{ab} \leq \frac{r_a+r_b+r_c}{2R} $(ma 29 post)

Bài 16:CMR:$IA^2 +IB^2 +IC^2 \leq IA_1 ^2+IB_1^2 +IC_1^2 $(ma 29 post)

Bài 17:CMR:$l_a .cos{\frac{A}{2}} +l_b .cos{\frac{B}{2}}+ l_c. cos{\frac{C}{2}} \geq p( cos A + cos B+ cos C) $(ma 29 post)

Bài 18:CMR:$S_ {A_1B_1C_1} \geq S_{ABC} $(ma 29 post)

Bài 19:CMR:$l_a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+l_b(\frac{1}{a}+\frac {1}{c})+l_c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\leq 3\sqrt{3} $

Bài 20:CMR:$l_a^2+l_b^2+l_c^2\leq p^2 $

Bài 21:CMR:$l_al_bl_c\leq rp^2 $

Bài 22:CMR:$l_a+l_b+l_c\geq \sqrt{absinAsinB}+\sqrt{bcsinBsinC}+\sqrt{casinCsi nA} $

Bài 23:CMR:$\frac{a}{l_b+l_c}+\frac{b}{l_c+l_a}+\frac{c}{l_a+l _b}\geq \sqrt{3} $

Bài 24:CMR:$IA.IB.IC\leq \frac{3\sqrt{3}{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}{{(a+b+c)}^{3 }} $(anhnguyen2311 post)

Bài 25:CMR:$ID.IE.IF\leq \frac{3\sqrt{3}{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}{2\sqrt{2}{(a +b+c)}^{3}}\sqrt{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}} $(anhnguyen2311 post)

Bài 26:CMR:$l_a+l_b+l_c\geq 3\sqrt{r(4R+r)} $(Lệnh Hồ Xung post)

Bài 27:CMR:$4(l_a^2+l_b^2+l_c^2)\geq 4(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2) $

Bài 28:CMR:$l_a+l_b+l_c\leq \frac{3}{2}\sqrt{ab+bc+ca} $

Bài 29:CMR:${l_a}^{2}+{l_b}^{2}+{l_c}^{2} \geq 3\sqrt{3}S $(Chí thắng th post)
Đây là file để download về máy:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Nguyên văn bởi Minh Tuấn

Nhân tiện nhận xét luôn, diễn đàn mình có mấy cái enomoticon đẹp hết biết

Quá chuẩn:hornytoro:
Có một chuyên đề về cái này ở đây :[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Minh Tuấn]

Hehe em nhận xét đương nhiên là chuẩn:hornytoro:, em đọc cái đó rồi và em chỉ post những bài không giống thôi vì vậy mọi người cứ giải nhé, không ai bị quy tội chép giải đâu:hornytoro:. Em nói thế để những bạn chưa đủ bài download vẫn sẽ giải bài bình thường chứ không có ý spam đâu, anh ma 29 đừng hiểu nhầm nhé:hornytoro:. Rất chuộng:hornytoro:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Nguyên văn bởi Minh Tuấn

anh ma 29 đừng hiểu nhầm nhé:hornytoro:. Rất chuộng:hornytoro:

Hiểu nhầm gì nhỉ,không có gì đâu
Mình xin đưa thêm 2 bất đẳng thức khác liên quan

Bài 11:

$\frac{p^2+r^2+ 4Rr}{2R} \leq l_a+l_b+l_c \leq min \begin{Bmatrix} p\sqrt{3},4R+r \end{Bmatrix} $

Bài 12:
$\frac{2p^2r^2}{R} \leq l_al_bl_c \leq min \begin {Bmatrix} p^2r,\frac{27R^3}{8} \end{Bmatrix} $

:hornytoro:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Minh Tuấn]

Cảm ơn anh ma 29 nhá em giải được rồi nhưng để lúc khác post. Em đưa thêm mấy bài:
Bài 13: Gọi I, O là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi A$_1, B_1, C_1 $ là giao điểm của AI, BI, CI với đường tròn (O). CMR:
a)$IA_1+IB_1+IC_1\geq IA+IB+IC $
b)$\frac{1}{IA_1}+\frac{1}{IB_1}+\frac{1}{IC_1}\geq \frac{3}{R} $
Bài 14:CMR:$\frac{1}{l_a}+\frac{1}{l_b}+\frac{1}{l_c}\leq \frac{1}{r} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Bài 15:
$\frac{l_a^2} {bc} +\frac{l_b^2}{ca} +\frac{l_c^2}{ab} \leq \frac{r_a+r_b+r_c}{2R} $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Minh Tuấn]

Nguyên văn bởi ma 29

Bài 15:
$\frac{l_a^2} {bc} +\frac{l_b^2}{ca} +\frac{l_c^2}{ab} \leq \frac{r_a+r_b+r_c}{2R} $

Làm ra rồi nhưng chưa post vội để hôm nào có thời gian post lần lượt cho đẹp:hornytoro:
Bài 15 là BĐT mạnh hơn của bài$\frac{l_a^2} {bc} +\frac{l_b^2}{ca} +\frac{l_c^2}{ab} \leq \frac{9}{4} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Anh thấy ở đây không chỉ đề cập đến đường phân giác mà còn nói đến tâm đường tròn nội tiếp ,vì thế anh nghĩ nên sửa tên topic thành :

Các bdt về đường phân giác và những yếu tố liên quan

Chúng ta sẽ đề cập luôn thằng bàng tiếp nữa ( anh em cả mà))
Đồng ý không??
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Minh Tuấn]

OK thôi không có gì phải lăn tăn cả :hornytoro: Anh sửa luôn topic về đường trung tuyến nữa cho đẹp:hornytoro:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Nguyên văn bởi Minh Tuấn

Cảm ơn anh ma 29 nhá em giải được rồi nhưng để lúc khác post. Em đưa thêm mấy bài:
Bài 13: Gọi I, O là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi A$_1, B_1, C_1 $ là giao điểm của AI, BI, CI với đường tròn (O). CMR:
a)$IA_1+IB_1+IC_1\geq IA+IB+IC $
b)$\frac{1}{IA_1}+\frac{1}{IB_1}+\frac{1}{IC_1}\geq \frac{3}{R} $

Có thêm bdt hay sau
Bài 16: $IA^2 +IB^2 +IC^2 \leq IA_1 ^2+IB_1^2 +IC_1^2 $

Mà các BDT trong cái cấu hình này hình như là rất nhiều thì phải,!!!!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Minh Tuấn]

Nguyên văn bởi ma 29

Mà các BDT trong cái cấu hình này hình như là rất nhiều thì phải,!!!!!

Uhm, có lẽ vậy:hornytoro:. Sở dĩ vậy vì $IA,IB,IC $cũng như $IA_1,IB_1,IC_1 $đều biểu diễn được qua sin$\frac{A}{2} $,sin$\frac{B}{2} $,sin$\frac{C}{2} $ và$ r, R. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Thêm một số bài khá hay nữa

Bài 17:
$l_a .cos{\frac{A}{2}} +l_b .cos{\frac{B}{2}}+ l_c. cos{\frac{C}{2}} \geq p( cos A + cos B+ cos C) $

Bài 18:
$S_ {A_1B_1C_1} \geq S_{ABC} $

:hornytoro::hornytoro::hornytoro:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Minh Tuấn]

Thêm một số bài nữa:
Bài 19:$l_a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+l_b(\frac{1}{a}+\frac {1}{c})+l_c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\leq 3\sqrt{3} $
Bài 20:$l_a^2+l_b^2+l_c^2\leq p^2 $(Bịa)
Bài 21:$l_al_bl_c\leq rp^2 $(Bịa)
Bài 22:$l_a+l_b+l_c\geq \sqrt{absinAsinB}+\sqrt{bcsinBsinC}+\sqrt{casinCsi nA} $(Bịa)
Bài 23:$\frac{a}{l_b+l_c}+\frac{b}{l_c+l_a}+\frac{c}{l_a+l _b}\geq \sqrt{3} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[anhnguyen2311]

Thêm vào luôn mấy bài "tự chế"
Bài 24:$IA.IB.IC\leq \frac{3\sqrt{3}{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}{{(a+b+c)}^{3 }} $
Bài 25:$ID.IE.IF\leq \frac{3\sqrt{3}{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}{2\sqrt{2}{(a +b+c)}^{3}}\sqrt{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Minh Tuấn]

anhnguyen2311 xửa thành Bài 24 và Bài 25 đi cho có thứ tự. Và bạn cũng nên vị trí của D,E,F trên 3 cạnh của tam giác nữa hay như thế nào đấy cho mọi người rõ đề hơn.
Và hình như bạn cũng post lỗi một vài chố rồi umb: xửa luôn nhé:hornytoro:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]