Xét miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

[yYukataYy]

Chào các bạn,

Mình có 1 bài xét miền hội tụ sau còn chưa thật rõ cách làm. Mình chỉ mới làm được 1 phần, hy vọng các bạn sẽ giúp mình. Đề bài như sau:

Đề bài
Xét sự hội tụ của chuỗi sau:

$\sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{n+2}{n+1} \right) ^ {n(n+1)}x^n $

Bài làm
Mình đã tìm được bán kính hội tụ như sau:
$\rho = \lim \sqrt[n]{a_n} = \lim \left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1} = e$
Vậy bán kính hội tụ là:
$R = \dfrac{1}{\rho} = \dfrac{1}{e}$
Tuy nhiên, mình gặp một rắc rối nhỏ khi xét tính hội tụ tại biên, cụ thể:

• Tại $x = -\dfrac{1}{e}$: Nó là một dãy đan dấu, qua khảo sát, thì mình có thể dự đoán chuỗi này không hội tụ, vì số hạng của nó $a_n = \left(\frac{n+2}{n+1} \right) ^{n(n+1)}\times \left( \frac{-1}{e} \right)^n \not \rightarrow 0$. Tuy nhiên mình không biết chứng minh điều này.
• Tại $x = \dfrac{1}{e}$, cũng tương tự chuỗi không hội tụ nhưng mình không biết cách chứng minh.

Hy vọng nhận được sự giúp đỡ của các bạn.

Chân thành cám ơn,
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[magician_14312]

Nguyên văn bởi yYukataYy

• Tại $x = -\dfrac{1}{e}$: Nó là một dãy đan dấu, qua khảo sát, thì mình có thể dự đoán chuỗi này không hội tụ, vì số hạng của nó $a_n = \left(\frac{n+2}{n+1} \right) ^{n(n+1)}\times \left( \frac{-1}{e} \right)^n \not \rightarrow 0$. Tuy nhiên mình không biết chứng minh điều này.
• Tại $x = \dfrac{1}{e}$, cũng tương tự chuỗi không hội tụ nhưng mình không biết cách chứng minh.

Hy vọng nhận được sự giúp đỡ của các bạn.

Chân thành cám ơn,

Bạn viết có vẻ hơi mâu thuẫn nhỉ!
Tại hai biên, chuỗi số khi đó sẽ không hội tụ. Ta chứng minh nó bằng cách đi chứng minh $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$.
Thật vậy, ta có:
$$\ln a_n=n(n+1)\ln \left ( 1+\frac{1}{n+1} \right )-n.$$
Sử dụng khai triển thành chuỗi Taylor, ta thu được kết quả:
$$\lim_{n \to \infty} \ln a_n= \lim_{n \to \infty} n(n+1)\left ( \frac{1}{n} - \frac{3}{2n^2}+O\left ( \frac{1}{n^3} \right )\right )-n=\lim_{n \to \infty} \frac{\left ( 2n-3+2n^2.O(\frac{1}{n^3}) \right )(n+1)}{2n}-n =\frac{-1}{2}$$
Do đó, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=\frac{1}{\sqrt{e}}$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sang89]

Một cách khác để chứng minh $\lim_{n \to \infty} \left[ n(n+1)\ln \left(1+\dfrac{1}{n+1}\right) - n\right] \ne 0 $

Sử dụng bất đẳng thức, $\dfrac{1}{n+2} < \ln \left(1+\dfrac{1}{n+1}\right) < \dfrac{1}{n+1} $ sẽ suy được 2 điều: ${a_n} $ giảm và ${a_n} $ là dãy các số âm. Do đó, $\lim a_n \ne 0. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]