|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
21-08-2012, 05:13 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2012 Bài gởi: 91 Thanks: 44 Thanked 21 Times in 19 Posts | Xét miền hội tụ của chuỗi lũy thừa Chào các bạn, Mình có 1 bài xét miền hội tụ sau còn chưa thật rõ cách làm. Mình chỉ mới làm được 1 phần, hy vọng các bạn sẽ giúp mình. Đề bài như sau: Đề bài Xét sự hội tụ của chuỗi sau: $\sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{n+2}{n+1} \right) ^ {n(n+1)}x^n $ Bài làmMình đã tìm được bán kính hội tụ như sau: $\rho = \lim \sqrt[n]{a_n} = \lim \left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1} = e$ Vậy bán kính hội tụ là: $R = \dfrac{1}{\rho} = \dfrac{1}{e}$ Tuy nhiên, mình gặp một rắc rối nhỏ khi xét tính hội tụ tại biên, cụ thể:
Hy vọng nhận được sự giúp đỡ của các bạn. Chân thành cám ơn, thay đổi nội dung bởi: yYukataYy, 21-08-2012 lúc 09:21 PM |
21-08-2012, 10:59 PM | #2 | |
Moderator Tham gia ngày: Jan 2011 Đến từ: Solar System Bài gởi: 367 Thanks: 201 Thanked 451 Times in 220 Posts | Trích:
Tại hai biên, chuỗi số khi đó sẽ không hội tụ. Ta chứng minh nó bằng cách đi chứng minh $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$. Thật vậy, ta có: $$\ln a_n=n(n+1)\ln \left ( 1+\frac{1}{n+1} \right )-n.$$ Sử dụng khai triển thành chuỗi Taylor, ta thu được kết quả: $$\lim_{n \to \infty} \ln a_n= \lim_{n \to \infty} n(n+1)\left ( \frac{1}{n} - \frac{3}{2n^2}+O\left ( \frac{1}{n^3} \right )\right )-n=\lim_{n \to \infty} \frac{\left ( 2n-3+2n^2.O(\frac{1}{n^3}) \right )(n+1)}{2n}-n =\frac{-1}{2}$$ Do đó, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=\frac{1}{\sqrt{e}}$. __________________ ...THE MILKY WAY... | |
The Following User Says Thank You to magician_14312 For This Useful Post: | yYukataYy (21-08-2012) |
21-08-2012, 11:32 PM | #3 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Mar 2010 Đến từ: Heaven Bài gởi: 887 Thanks: 261 Thanked 463 Times in 331 Posts | Một cách khác để chứng minh $\lim_{n \to \infty} \left[ n(n+1)\ln \left(1+\dfrac{1}{n+1}\right) - n\right] \ne 0 $ Sử dụng bất đẳng thức, $\dfrac{1}{n+2} < \ln \left(1+\dfrac{1}{n+1}\right) < \dfrac{1}{n+1} $ sẽ suy được 2 điều: ${a_n} $ giảm và ${a_n} $ là dãy các số âm. Do đó, $\lim a_n \ne 0. $ __________________ $\spadesuit $ Only through the pure logic of mathematics can truth be found. |
The Following User Says Thank You to sang89 For This Useful Post: | yYukataYy (21-08-2012) |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|