Một số bài tích phân

[Dungmathscope]

1.Tính tích phân: $\int_0^\pi\frac{\sin(nx)}{\sin{x}}dx $

2.Chứng minh rằng: $\int_0^{\sqrt{2\pi}}\sin{x^2}dx >0 $

3.Cho hàm liên tục $f:0;1 \rightarrow 0;1 $. Đặt $\int_0^1f(x)dx =a $.Chứng minh rằng:
a) $F(x)\le x $ và $F(x) \le a $ với $F(x)=\int_0^x f(x)dx $
b)$\int_0^1 F(x)dx \le a-\frac{a^2}{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[BlackBerry® Bold™]

Bài 1. Đặt dãy $u_n=\dfrac{\sin nx}{\sin x}$. Rồi dùng công thức tích phân từng phần để tìm ra công thức truy hồi. Mình quên hết công thức lượng giác với tích phân rồi nên bó tay thôi

Bài 2. Đặt $\displaystyle F(x)=\int \sin^2xdx$. Suy ra $I=F(\sqrt{2\pi})-F(0)$.

Áp dụng định lý Lagrange, ta có tồn tại $c$ thuộc $(0,\sqrt{2\pi})$ sao cho $I=\sqrt{2\pi}.F'(c)=\sqrt{2\pi}. \sin^2c>0$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[BlackBerry® Bold™]

Bài 3.a.

Đặt $g(x)=\displaystyle \int f(x)dx$. Ta có $g(1)-g(0)=a. F(x)=g(x)-g(0)$.

Tồn tại $c$ thuộc $(0,1)$ sao cho $F(x)=g(x)-g(0)=x.g'(c)=x.f(c)\leq x$.

Vế còn lại tương tự. $F(x)\leq a$ tương đương $g(1)-g(x)\geq 0$. Tồn tại $d$ thuộc $(0,1)$ sao cho $g(1)-g(x)=(1-x)g'(d)=f(d).(1-x)$.

Rõ ràng tích này không âm theo tập xác định và tập đích của f.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Dungmathscope]

Nguyên văn bởi BlackBerry® Bold™

Bài 2. Đặt $\displaystyle F(x)=\int \sin^2xdx$. Suy ra $I=F(\sqrt{2\pi})-F(0)$.

Áp dụng định lý Lagrange, ta có tồn tại $c$ thuộc $(0,\sqrt{2\pi})$ sao cho $I=\sqrt{2\pi}.F'(c)=\sqrt{2\pi}. \sin^2c>0$

Bài này là $\sin{x^2} $ bạn ạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[magician_14312]

Nguyên văn bởi Dungmathscope

2.Chứng minh rằng: $\int_0^{\sqrt{2\pi}}\sin{x^2}dx >0 $

Đặt $t=x^2$. Khi đó:
$$I=\int_{0}^{\sqrt{2\pi}}\sin x^2 dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{2 \pi}\frac{\sin t}{\sqrt{t}}dt=\frac{1}{2}\left ( \int_{0}^{\pi}\frac{\sin t}{\sqrt{t}}dt +\int_{\pi}^{2 \pi}\frac{\sin t}{\sqrt{t}}dt \right )$$
Với tích phân thứ hai, đặt $x=t-\pi$. Ta có:
$$I=\frac{1}{2}\left ( \int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}dx -\int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{\sqrt{x+\pi}}dx \right )=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin x \left (\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x+\pi}} \right )dx>0.$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[BlackBerry® Bold™]

1. Xét $u_{n+2}-u_n$ là ra
3.b. Thêm a vào [0,1] để tách cận tích phân + áp dụng câu a là xong T.T.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]