Đề thi các trường và các tỉnh năm học 2010-2011 - Lời giải và bình luận - Page 3

Nguyenhuyen_AG · 31-10-2010, 04:39 PM

Trích:

Nguyên văn bởi namdung

Dành cho các bạn yêu thích bất đẳng thức.

Có thêm 21 bài BDT và cực trị các thể loại. Nhào dzô anh em!

Tranh thủ làm các bài dễ trước
Bài 17.
Bằng cách đặt
$x=\sqrt{\frac{a}{b}},y=\sqrt{\frac{b}{c}},z=\sqrt{ \frac{c}{a}} $
Ta có $xyz=1 $ và phải chứng minh $x^3+y^3+z^3\ge x^2+y^2+z^2 $
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $x^3+x^3+1\ge 3x^2 $
Tương tự cho các BĐT còn lại ta được
$2(x^3+y^3+z^3)+3\ge3(x^2+z^2+z^2)\ge2(x^2+z^2+z^2) +3 $
Từ đó suy ra đpcm.
P/s. Có thể sử dụng bất đẳng thức Bernolli
Bài 12
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{ 9}{2(a+b+c)} $
Vì thế ta cần chứng minh
$\frac{3}{a+b+c}\ge\frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2} $
tương đương với $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0 $
Bài 8
Ta có
$(ax-by)^2+(bx+ay)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)=3+(bx+ay)^2 $
nên
$F\geq 2\sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)}+bx+ay=2\sqrt{3+(bx+ay)^ 2)}+bx+ay $
Đặt $ bx+ay=k $

Thì $F\geq 2\sqrt{3+k^2}+k $
Ta cần chứng minh
$2\sqrt{3+k^2}+k\geq 3 $
tương đương với
$4(k^2+3)+k^2+4k\sqrt{k^2+3}\geq 9 $
$(2k+\sqrt{k^2+3})^2\geq 0 $
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn $\left ( a,b,x,y \right )=\left ( \sqrt{2},0,\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} \right ) $
Vậy $min F=3 $
------------------------------

Trích:

Nguyên văn bởi namdung

Lời giải phần Bất đẳng thức do bạn Lê Việt Hải thực hiện.

Một lời giải khác
Bài 2
Sử dụng hằng đẳng thức quen thuộc

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) $

Ta đưa bất đẳng thức về dạng

$ \displaystyle\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{ c^2}+2(ab+bc+ca)\ge(a+b+c)^2 $

Theo bất đẳng thức AM-GM và giả thiết ta có

$\displaystyle\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{ c^2}+2(ab+bc+ca)\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac {1}{ca}+2\sqrt{3abc(a+b+c)} $

$ \displaystyle=3\left(\frac{1}{abc}+\sqrt{abc}+ \sqrt{abc} \right)\ge9=(a+b+c)^2 $
------------------------------
Cách 2
Giả sử $c=min\{a,b,c\} $ thì $3=a+b+c\ge 3 c $, tức $c\le 1 $ dẫn đến $\frac{a+b}{2}\ge 1 $
Sư dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c }{abc}=\frac{3}{abc} $
Vì thế ta cần phải chứng minh
$\frac{3}{abc}\ge a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow abc(a^2+b^2+c^2)\le 3 $
Đặt $f(a,b,c)=abc(a^2+b^2+c^2) $. Ta có
$f\left ( a,b,c \right )-f\left ( \frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c \right )=c\left \{ \left [ ab(a^2+b^2)-\frac{(a+b)^4}{8} \right ]+\left [abc^2-\frac{(bc+ca)^2}{4} \right ] \right \} $
Mà theo bất đẳng thức AM-GM thì
$(a+b)^4=(a^2+b^2+2ab)^2\ge8ab(a^2+b^2) $
$(bc+ca)^2\ge 4bc.ca=4abc^2 $
nên ta có $f\left ( a,b,c \right ) \le f\left ( \frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c \right ) $
cuối cùng ta chỉ còn chứng minh
$f\left ( \frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c \right )\le 3 $
đặt $x=\frac{a+b}{2} $
từ giải thiết ta rút ra được $c=3-2x $. Xét
$f\left ( \frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c \right )-3 $
$=-(4x^5-14x^4+8x^3-9x^2-1)=(x-1)^2[2x(x-1)(2x-1)+1]\le 0 $
Từ đó suy ra đpcm.
------------------------------
Còn đây là lời giải của tác giả bài toán trên giáo sư Vasile Cirtoaje
Đặt $x=ab+bc+ca $
khi đó sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc
$(a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca),(ab+bc+ca)^2\ge3abc(a+b+c) $ ta có
$0<x\le 3 $ và $abc\le \frac{x^2}{9} $
Ta có
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2-2\left (\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \right )=\frac{x^2}{a^2b^2c^2}-\frac{6}{abc} $
Ta sẽ chứng minh $x^2-6abc\ge (9-2x)a^2b^2c^2 $
Thật vậy
$VT-VP\ge x^2-\frac{2x^2}{3}-\frac{x^2(9-2x)}{81}=\frac{x^2(x-3)^2(2x+3)}{81}\ge 0 $
Bài toán được chứng minh hoàn toàn.

Nguyenhuyen_AG · 01-11-2010, 02:01 PM

Bài 17
Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có
$\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{\frac{3}{2}}=\left [ 1+\left ( \frac{a}{b}-1 \right ) \right ]^{\frac{3}{2}}\ge 1+\frac{3}{2}\left ( \frac{a}{b} -1\right )=\frac{3}{2}.\frac{a}{b}-\frac{1}{2} $
Tương tự cho các bất đẳng thức còn lại ta được
$VT\ge \frac{3}{2}\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )-\frac{3}{2}=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+ \frac{1}{2} \left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3 \right )\ge VP $
Từ lời giải trên ta thấy rằng
$\frac{1}{2} \left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3 \right )\ge\frac{1}{2}.\left [\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}-3 \right ]=\frac{\left ( a-b \right )^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{4(ab+bc+ca)} $
Từ đó có thể làm mạng bài toán như sau
$\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{c^3}}+ \sqrt{\frac{c^3}{a^3}} \ge \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{\left ( a-b \right )^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{4(ab+bc+ca)} $

nhiên · 01-11-2010, 05:53 PM

Mọi người xem câu trong đề Bắc Ninh năm 2010 có vấn đề gì ko
Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau thỏa mãn với mọi cặp số thực x, y không âm
$\sqrt[10]{\frac{{{x}^{10}}+{{y}^{10}}}{2}}\le \sqrt[8]{\frac{{{x}^{8}}+{{y}^{8}}}{2}}+k\left| x-y \right| $

luatdhv · 08-11-2010, 03:59 PM

Bạn nào giải bài 1 phần dãy số chưa: Chứng minh tồn tại và tìm giới hạn dãy:
$x_1=x_2=1; x_{n+2}=x_{n+1}^2-\frac{1}{2}x_n $

_minhhoang_ · 08-11-2010, 09:50 PM

Trích:

Nguyên văn bởi luatdhv

Bạn nào giải bài 1 phần dãy số chưa: Chứng minh tồn tại và tìm giới hạn dãy:
$x_1=x_2=1; x_{n+2}=x_{n+1}^2-\frac{1}{2}x_n $

Bài 1 phần dãy số :
[Only registered and activated users can see links. ] #16

tuan119 · 11-11-2010, 12:13 AM

- Làm toán hình mà không có hình thì các bạn khác khi đọc hơi khó hình dung, đặc biệt một số đề như của Hải Phòng

, mình xin bổ sung ít ít, xíu xíu hình vẽ của các đề trên để các bạn tiện theo dõi;

================================================

____Hà Tĩnh
==========================================

Htutat · 14-11-2010, 10:56 PM

Trích:

Nguyên văn bởi namdung

Nói đến KHTN ta luôn hiểu rằng đó là KHTN thuộc ĐHQG HN.

Tôi gửi các bạn lời giải phần hình học do bạn Novae thực hiện. Mọi người xem lại và bình luận thêm. Ngoài ra còn có 2 bài 2 và 12 chưa có lời giải.

Em thấy Bài số 7 (German MO 2010) dùng Phương tích thì mấy dòng là xong anh à!

**novae** · 14-11-2010, 11:21 PM

Dạ đúng rồi

em xin đưa ra cách giải sau, không biết có đúng ý thầy không
$KL'^2=P_{K/(l)}=\overline{KE}.\overline{KL} $
$LK'^2=P_{L/(k)}=\overline{LK}.\overline{LD} $
$\Rightarrow \overline{KE}.\overline{KL}=\overline{LK}. \overline{LD} $
Từ đó suy ra đpcm.

Htutat · 15-11-2010, 09:50 AM

Trích:

Nguyên văn bởi novae

Dạ đúng rồi

em xin đưa ra cách giải sau, không biết có đúng ý thầy không
$KL'^2=P_{K/(l)}=\overline{KE}.\overline{KL} $
$LK'^2=P_{L/(k)}=\overline{LK}.\overline{LD} $
$\Rightarrow \overline{KE}.\overline{KL}=\overline{LK}. \overline{LD} $
Từ đó suy ra đpcm.

Đề như thế thì "dễ thở" lắm em nhỉ?

Các em giỏi lắm, chúc các em luôn có niềm đam mê với Toán học!

tuan119 · 15-11-2010, 11:21 AM

- Sáng nay Quảng Ninh thi HSG Toán - vòng 2 (đến 11h)

, chiều mình post đề để các bạn cùng theo dõi nhé!

**namdung** · 15-11-2010, 03:15 PM

Trích:

Nguyên văn bởi nhiên

Mọi người xem câu trong đề Bắc Ninh năm 2010 có vấn đề gì ko
Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau thỏa mãn với mọi cặp số thực x, y không âm
$\sqrt[10]{\frac{{{x}^{10}}+{{y}^{10}}}{2}}\le \sqrt[8]{\frac{{{x}^{8}}+{{y}^{8}}}{2}}+k\left| x-y \right| $

Đề như vậy thì không sợ sai. Chỉ tội là giải mãi không được

khicon · 30-11-2010, 07:10 PM

Bài dãy số (bài 5 trong tập đề dãy số) của trường KHTN đã có lời giải chưa ạ??

**n.v.thanh** · 30-11-2010, 07:14 PM

Bài nào bạn chỉ ra đi...Viết thế kia dc liệt vào spam kiểu tinh vi đó

khicon · 01-12-2010, 06:00 PM

Trích:

Nguyên văn bởi nvthanh1994

Bài nào bạn chỉ ra đi...Viết thế kia dc liệt vào spam kiểu tinh vi đó

hixx, em ko biết, mod thông cảm
bài 5 trong tập đề dãy số ạ
edited

**novae** · 01-12-2010, 06:09 PM

[Only registered and activated users can see links. ]

01-11-2010, 02:01 PM	#32
Nguyenhuyen_AG +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2010 Bài gởi: 300 Thanks: 35 Thanked 307 Times in 151 Posts	Bài 17 Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có $\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{\frac{3}{2}}=\left [ 1+\left ( \frac{a}{b}-1 \right ) \right ]^{\frac{3}{2}}\ge 1+\frac{3}{2}\left ( \frac{a}{b} -1\right )=\frac{3}{2}.\frac{a}{b}-\frac{1}{2} $ Tương tự cho các bất đẳng thức còn lại ta được $VT\ge \frac{3}{2}\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )-\frac{3}{2}=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+ \frac{1}{2} \left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3 \right )\ge VP $ Từ lời giải trên ta thấy rằng $\frac{1}{2} \left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3 \right )\ge\frac{1}{2}.\left [\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}-3 \right ]=\frac{\left ( a-b \right )^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{4(ab+bc+ca)} $ Từ đó có thể làm mạng bài toán như sau $\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{c^3}}+ \sqrt{\frac{c^3}{a^3}} \ge \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{\left ( a-b \right )^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{4(ab+bc+ca)} $ __________________ Nguyen Van Huyen Ho Chi Minh City University of Transport

11-11-2010, 12:13 AM	#36
tuan119 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2008 Bài gởi: 993 Thanks: 273 Thanked 666 Times in 422 Posts	- Làm toán hình mà không có hình thì các bạn khác khi đọc hơi khó hình dung, đặc biệt một số đề như của Hải Phòng, mình xin bổ sung ít ít, xíu xíu hình vẽ của các đề trên để các bạn tiện theo dõi; ================================================ ================================================ ================================================ ____Hà Tĩnh ========================================== thay đổi nội dung bởi: tuan119, 11-11-2010 lúc 12:31 PM

14-11-2010, 11:21 PM	#38
novae +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts	Dạ đúng rồi em xin đưa ra cách giải sau, không biết có đúng ý thầy không $KL'^2=P_{K/(l)}=\overline{KE}.\overline{KL} $ $LK'^2=P_{L/(k)}=\overline{LK}.\overline{LD} $ $\Rightarrow \overline{KE}.\overline{KL}=\overline{LK}. \overline{LD} $ Từ đó suy ra đpcm. __________________ M.

15-11-2010, 11:21 AM	#40
tuan119 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2008 Bài gởi: 993 Thanks: 273 Thanked 666 Times in 422 Posts	- Sáng nay Quảng Ninh thi HSG Toán - vòng 2 (đến 11h), chiều mình post đề để các bạn cùng theo dõi nhé!

30-11-2010, 07:10 PM	#42
khicon +Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2009 Bài gởi: 73 Thanks: 77 Thanked 19 Times in 14 Posts	Bài dãy số (bài 5 trong tập đề dãy số) của trường KHTN đã có lời giải chưa ạ?? thay đổi nội dung bởi: khicon, 01-12-2010 lúc 06:55 PM

01-11-2010, 05:53 PM	#33
nhiên +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Bài gởi: 180 Thanks: 11 Thanked 156 Times in 52 Posts	Mọi người xem câu trong đề Bắc Ninh năm 2010 có vấn đề gì ko Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau thỏa mãn với mọi cặp số thực x, y không âm $\sqrt[10]{\frac{{{x}^{10}}+{{y}^{10}}}{2}}\le \sqrt[8]{\frac{{{x}^{8}}+{{y}^{8}}}{2}}+k\left\| x-y \right\| $

08-11-2010, 03:59 PM	#34
luatdhv Banned Tham gia ngày: Jan 2010 Bài gởi: 402 Thanks: 418 Thanked 120 Times in 75 Posts	Bạn nào giải bài 1 phần dãy số chưa: Chứng minh tồn tại và tìm giới hạn dãy: $x_1=x_2=1; x_{n+2}=x_{n+1}^2-\frac{1}{2}x_n $

30-11-2010, 07:14 PM	#43
n.v.thanh Moderator Tham gia ngày: Nov 2009 Bài gởi: 2,849 Thanks: 2,980 Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts	Bài nào bạn chỉ ra đi...Viết thế kia dc liệt vào spam kiểu tinh vi đó

01-12-2010, 06:09 PM	#45
novae +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts	[Only registered and activated users can see links. ] __________________ M.