Chứng minh bất đẳng thức với các biến dương

High high · 15-10-2012, 08:48 PM

Chứng minh với a,b,c dương
$$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a} {b})$$

hieu1411997 · 15-10-2012, 08:59 PM

Thêm bớt thôi bạn à
$\dfrac{ab}{c^2}+\dfrac{(a+b)^2}{4ab}\ge \dfrac{a+b}{2c} $
$\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{(c+b)^2}{4bc}\ge \dfrac{c+b}{2a} $
$\dfrac{ac}{c^2}+\dfrac{(a+c)^2}{4ac}\ge \dfrac{a+c}{2b} $
Lại có
$\dfrac{(a+b)^2}{4ab}=\dfrac{a}{2b}+\dfrac{b}{2a}+\ frac{1}{2} $
$\dfrac{(c+b)^2}{4cb}=\dfrac{c}{2b}+\dfrac{b}{2c}+\ frac{1}{2} $
$\dfrac{(a+c)^2}{4ab}=\dfrac{a}{2c}+\dfrac{c}{2a}+\ frac{1}{2} $
Từ đó ta có điều phải chứng minh

hoangquan_9x · 15-10-2012, 09:12 PM

Trích:

Nguyên văn bởi High high

Chứng minh với a,b,c dương
$$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a} {b})$$

Bài này có thể thêm bớt rồi sử dụng AM-GM đơn giản hơn:

Ta có $\dfrac{ab}{c^2}+\dfrac{a}{b}\geq 2\dfrac{a}{c}$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại suy ra dpcm

High high · 15-10-2012, 09:26 PM

Trích:

Nguyên văn bởi hoangquan_9x

Bài này có thể thêm bớt rồi sử dụng AM-GM đơn giản hơn:

Ta có $\dfrac{ab}{c^2}+\dfrac{a}{b}\geq 2\dfrac{a}{c}$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại suy ra dpcm

Ghi rõ thêm hơn được không vậy anh?

hoangquan_9x · 15-10-2012, 09:36 PM

Trích:

Nguyên văn bởi High high

Chứng minh với a,b,c dương
$$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a} {b})$$

Ta có:

*$ \dfrac{ab}{c^2}+\dfrac{a}{b}\geq 2\dfrac{a}{c}$

$\dfrac{ab}{c^2}+\dfrac{b}{a}\geq 2\dfrac{b}{c}$

Tới đây bạn thiết lập các cặp BĐT tương tự rồi cộng vào là ra nhé.

15-10-2012, 08:48 PM	#1
High high +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2012 Đến từ: CLA Bài gởi: 538 Thanks: 183 Thanked 136 Times in 63 Posts	Chứng minh bất đẳng thức với các biến dương Chứng minh với a,b,c dương $$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a} {b})$$ __________________ Sẽ không quên nỗi đau này..!

15-10-2012, 08:59 PM	#2
hieu1411997 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2012 Đến từ: THPT Chuyên Hà Tĩnh Bài gởi: 369 Thanks: 188 Thanked 255 Times in 158 Posts	Thêm bớt thôi bạn à $\dfrac{ab}{c^2}+\dfrac{(a+b)^2}{4ab}\ge \dfrac{a+b}{2c} $ $\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{(c+b)^2}{4bc}\ge \dfrac{c+b}{2a} $ $\dfrac{ac}{c^2}+\dfrac{(a+c)^2}{4ac}\ge \dfrac{a+c}{2b} $ Lại có $\dfrac{(a+b)^2}{4ab}=\dfrac{a}{2b}+\dfrac{b}{2a}+\ frac{1}{2} $ $\dfrac{(c+b)^2}{4cb}=\dfrac{c}{2b}+\dfrac{b}{2c}+\ frac{1}{2} $ $\dfrac{(a+c)^2}{4ab}=\dfrac{a}{2c}+\dfrac{c}{2a}+\ frac{1}{2} $ Từ đó ta có điều phải chứng minh __________________ H