Topic về bất đẳng thức

[Messi_ndt]

Nguyên văn bởi th2091

có thiếu đk ko vậy
thay a=b=c=2 thì bđt sai rồi

Mới làm chặt được một bài. Đề đã sửa.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[minhkhac_94]

Cho các số thực dương $a,b,c $ với $c\le a $ và $3a^2+4b^2+5c^2 \le 12 $
Tìm GTNN của $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[th2091]

Nguyên văn bởi minhkhac_94

Bài 1 Trong STBĐT có
Max=10
Bài 2 dùng Holder OK liền

Chỉ là đề đại học yêu cầu ko dùng holder. he he!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi th2091

Chỉ là đề đại học yêu cầu ko dùng holder. he he!

Bạn cho mình biết đây là đề đại học ở đâu được không?
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[th2091]

Nguyên văn bởi novae

Bạn cho mình biết đây là đề đại học ở đâu được không?
[Only registered and activated users can see links. ]

Chỉ là 1 trong các đề luyện thi đại học thôi
Không cần dùng đến những bđt như jensen hay holder đâu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[th2091]

Nguyên văn bởi minhkhac_94

Cho các số thực dương $a,b,c $ với $c\le a $ và $3a^2+4b^2+5c^2 \le 12 $
Tìm GTNN của $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} $

Đặt $f(a,b,c)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-3 $
$f(a,b,c)-f(\sqrt{ac},b,\sqrt{ac})=(\frac{1}{\sqrt{c}}-\frac{1}{\sqrt{a}})^{2}\ge 0 $
=>$f(a,b,c)\ge f(\sqrt{ac},b,\sqrt{ac}) $
Lại có $f(t,b,t)=\frac{2}{t}+\frac{1}{b}-3\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{t^{2}b}}-3 $$(t=\sqrt{ac}) $
Theo giả thiết $12\ge 8t^{2}+4b^{2}\ge 12\sqrt[3]{t^{4}b^{2}} $
=>$f(t,b,t)\ge 0 => \sum\frac{1}{a}\ge 3 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Thanh vien]

Nguyên văn bởi th2091

Bài 1:Cho $a, b,c \in [1;2] $.Tìm max của
$A=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) $
Bài 2: Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng
$\sum\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}\ge 1 $

2.
Schwarz:
VT$\ge\frac{(a+b+c)^2}{\sum a\sqrt{a^2+8bc}} $
$\\\sum a\sqrt{a^2+8bc}=\sum \sqrt a.\sqrt{a^3+8abc}\le\sqrt{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+8abc )}\le(a+b+c)^2 $
ĐPCM.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TKmathTKmath]

Nguyên văn bởi th2091

Bài 2: Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng
$\sum\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}\ge 1 $

Một cách khác dài hơn, chỉ dùng Cauchy.

$\sum\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}\ge 1 \Leftrightarrow \sum{\frac{1}{\sqrt{1+8\frac{bc}{a^2}}}} \ge 1 $
Đặt $\frac{bc}{a^2}=x^3,\frac{ca}{b^2}=y^3,\frac{ab}{c^ 2}=z^3 \Rightarrow xyz=1 $
Ta có bất đẳng thức sau:
$\forall t>-\alpha: \sqrt{t^3+{\alpha}^3}=\frac{1}{\sqrt{\alpha}}\sqrt {(t{\alpha}+{\alpha}^2)(t^2+{\alpha}^2-t{\alpha})} \le \frac{t^2+2{\alpha}^2}{2\sqrt{\alpha}} $
Khi đó $VT=\sum{\frac{1}{\sqrt{1+8x^3}}} \ge \sum{\frac{1}{2x^2+1}}. $
Tac cần cm $\sum{\frac{1}{2x^2+1}} \ge 1 \Leftrightarrow 4(x^2y^2+y^2x^2+x^2z^2)+4(x^2+y^2+z^2)+3 \ge 8x^2y^2z^2+4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+2(x^2+y^2+z^2)+ 1 \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge 3 $
(đúng do xyz =1)
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1 hay a=b=c
------------------------------

Nguyên văn bởi Thanh vien

2.
Schwarz:
VT$\ge\frac{(a+b+c)^2}{\sum a\sqrt{a^2+8bc}} $
$\\\sum a\sqrt{a^2+8bc}=\sum \sqrt a.\sqrt{a^3+8abc}\le\sqrt{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+8abc )}\le(a+b+c)^2 $
ĐPCM.

Chỗ kia là 24abc chứ không phải 8abc đâu bạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[cuthangbo]

Cho $a,b,c \ge 1 $ và $2+a+b+c=abc $. Cm:$21\ge 2ca+2cb+ab $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[khanh.kid]

Chứng minh rằng nếu $a;b;c>0 $ thì:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{b+c}{a +c}+\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{b+c} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[777]

$a,b,c>0 $ và $ab+bc+ca=3 $
CM: $\sum{\sqrt{a+3}} \ge 6 $
Bài này không biết có trong topic chưa? Mình chưa làm được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TKmathTKmath]

Nguyên văn bởi 777

$a,b,c>0 $ và $ab+bc+ca=3 $
CM: $\sum{\sqrt{a+3}} \ge 6 $
Bài này không biết có trong topic chưa? Mình chưa làm được

Theo Jensen thì BĐT đổi chiều. Nếu a=2, b=2/3, c=1/3 thì sai rồi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[th2091]

Nguyên văn bởi TKmathTKmath

Theo Jensen thì BĐT đổi chiều. Nếu a=2, b=2/3, c=1/3 thì sai rồi.

Bạn ah a=2, b=2/3, c=1/3 đâu có thỏa mãn đk ab+bc+ac=3
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[khanh.kid]

Nguyên văn bởi khanh.kid

Chứng minh rằng nếu $a;b;c>0 $ thì:
$ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge \frac{b+c}{a+c}+\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{b+c} $

ai giúp tôi bài này với

gõ tex nhưng ko hiểu sao ko hiện ct
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Kratos]

Nguyên văn bởi khanh.kid

ai giúp tôi bài này với

gõ tex nhưng ko hiểu sao ko hiện ct

BĐT ban đầu hoán vị giữa 3 biến, nên ta có thể giả sử $b $ nằm giữa $a $ và $c $.

Khi đó BĐT ban đầu tương đương với $\dfrac{a(b-c)(a-b)}{bc(a+b)(c+a)} + \dfrac{b(c-a)^2}{ca(a+b)(b+c)} \ge 0 $, đây là BĐT đúng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]