So sánh DF/AE và 1/k - hay

congkhtn · 13-12-2008, 04:57 PM

Cho Hình chữ nhật ABCD có AD=k.AB trên AB,AD lần lượt lấy 2 điểm E và F sao cho góc ACE=góc DCF .So sánh DF/AE và 1/k .

lovemintu · 21-12-2008, 11:01 PM

Nhận xét CE.CF<CA.CD thật vậy

Từ A vẽ AH vuông góc EC dễ thấy CEA tù nên H ở ngoài EC suy ra CH>CE, đặt góc ACE=góc DCF =a ta thấy cos a= CH/AC=CD/CF vậy CD.CA=CH.CF>CE.CF.

Nhận xét còn cho thấy S(CEF)<=S(CAD)!

Theo luật sin ta có

EA=AC. sin a/sin(AEC)= AC. sin a/sin(BEC)=AC. sin a.(CE/BC).

DF=CFsin a

Vậy sue dụng nhận xét ta có DF/AE= FC.BC/(AC.EC)=(AB/BC).(BC/AB).FC.BC/(AC.EC)=1/k. BC.BC.FC/(CD.CA.EC)<=BC.BC.FC/(CE.CF.CE)=BC^2/CE^2<=1.

Dấu bằng khi E trùng B.

Bài này là 1 bdt hh hay!

13-12-2008, 04:57 PM	#1
congkhtn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 1 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts	So sánh DF/AE và 1/k - hay Cho Hình chữ nhật ABCD có AD=k.AB trên AB,AD lần lượt lấy 2 điểm E và F sao cho góc ACE=góc DCF .So sánh DF/AE và 1/k .

21-12-2008, 11:01 PM	#2
lovemintu +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 150 Thanks: 11 Thanked 52 Times in 33 Posts	Nhận xét CE.CF<CA.CD thật vậy Từ A vẽ AH vuông góc EC dễ thấy CEA tù nên H ở ngoài EC suy ra CH>CE, đặt góc ACE=góc DCF =a ta thấy cos a= CH/AC=CD/CF vậy CD.CA=CH.CF>CE.CF. Nhận xét còn cho thấy S(CEF)<=S(CAD)! Theo luật sin ta có EA=AC. sin a/sin(AEC)= AC. sin a/sin(BEC)=AC. sin a.(CE/BC). DF=CFsin a Vậy sue dụng nhận xét ta có DF/AE= FC.BC/(AC.EC)=(AB/BC).(BC/AB).FC.BC/(AC.EC)=1/k. BC.BC.FC/(CD.CA.EC)<=BC.BC.FC/(CE.CF.CE)=BC^2/CE^2<=1. Dấu bằng khi E trùng B. Bài này là 1 bdt hh hay!