Số các nhân tử bất khả quy là $[F(\alpha)\cap K:F]$?

Ngonkhtn · 16-07-2015, 02:36 PM

Có bài tập này trong sách của D&F mình cảm thấy giả thiết bị thiếu, hoặc là hướng dẫn giải sai, có ai giúp xác nhận điều này cho mình: Let $f(x)\in F[x]$ be an irreducible polynomial of degree nover the field F, let L be the splitting field of f(x) over F and let $\alpha$ be a root of f(x) in L. If K is any Galois extension of F, show that f(x) splits into a product of m irreducible polynomials each of degree d over K, where $d=[K(\alpha):K]=[L\cap K(\alpha):L\cap K]$ and m=n/d=$[F(\alpha)\cap K:F]$.
Và đây là chỉ dẫn của họ:
Show first that the factorization of f(x) over K is the same as its factorization over $L\cap K$. Then if H is the subgroup of the Galois group of L over F corresponding to $L\cap K$ the factors of f(x) over $L\cap K$ correspond to the orbits of H on the roots of f(x). Use exercise 9 of section 4.1. (bài tập này liên quan đến khái niệm khối [Only registered and activated users can see links. ]))

Ở trên họ nói L/F là Galois rồi, như vậy thì phải có thêm điều kiện f(x) là tách được. Nhưng mình nghĩ có thể chỉ dẫn sai. Ở đây, hiển nhiên ta có $d=[K(\alpha):K]=[L\cap K(\alpha):L\cap K]$ mà không cần dùng lí thuyết Galois nhưng tất cả các d này đều bằng nhau và số các nhân tử bất khả quy là $[F(\alpha)\cap K:F]$ thì có vẻ thực sự cần L/F là Galois?

16-07-2015, 02:36 PM	#1
Ngonkhtn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2013 Bài gởi: 60 Thanks: 11 Thanked 16 Times in 15 Posts	Số các nhân tử bất khả quy là $[F(\alpha)\cap K:F]$? Có bài tập này trong sách của D&F mình cảm thấy giả thiết bị thiếu, hoặc là hướng dẫn giải sai, có ai giúp xác nhận điều này cho mình: Let $f(x)\in F[x]$ be an irreducible polynomial of degree nover the field F, let L be the splitting field of f(x) over F and let $\alpha$ be a root of f(x) in L. If K is any Galois extension of F, show that f(x) splits into a product of m irreducible polynomials each of degree d over K, where $d=[K(\alpha):K]=[L\cap K(\alpha):L\cap K]$ and m=n/d=$[F(\alpha)\cap K:F]$. Và đây là chỉ dẫn của họ: Show first that the factorization of f(x) over K is the same as its factorization over $L\cap K$. Then if H is the subgroup of the Galois group of L over F corresponding to $L\cap K$ the factors of f(x) over $L\cap K$ correspond to the orbits of H on the roots of f(x). Use exercise 9 of section 4.1. (bài tập này liên quan đến khái niệm khối [Only registered and activated users can see links. ])) Ở trên họ nói L/F là Galois rồi, như vậy thì phải có thêm điều kiện f(x) là tách được. Nhưng mình nghĩ có thể chỉ dẫn sai. Ở đây, hiển nhiên ta có $d=[K(\alpha):K]=[L\cap K(\alpha):L\cap K]$ mà không cần dùng lí thuyết Galois nhưng tất cả các d này đều bằng nhau và số các nhân tử bất khả quy là $[F(\alpha)\cap K:F]$ thì có vẻ thực sự cần L/F là Galois?