500 BĐT chọn lọc của Cao Minh Quang

[Conan Edogawa]

các bạn giải giúp mình bài 151,158,209,427 trong tài liệu trên dùm mình.Lưu ý chỉ áp dụng BDT Cauchy,nếu ko ra mới dùng cách khác nha.Cảm ơn nhiều
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Conan Edogawa]

giải giúp mình 4 bài trên đi các bạn,cảm ơn nhiều
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[k30101201]

Cho $a,b,c \in (0,1) $.CMR $\sqrt{abc}+\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}<1 $.

Dễ dàng chứng minh được mọi $x \in (0,1) $ thì $x^{\frac{1}{2}}<x^{\frac{1}{3}} $.
Áp dụng cho ta $\sqrt{abc}<\sqrt[3]{abc}<\frac{a+b+c}{3} $ và $\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}<\sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)}<\frac{3-a-b-c}{3} $.
Cộng lại ta có đpcm
==============
Cho $a,b,c $ là các số thực dương thỏa $abc=1 $.CMR $\frac{b+c}{\sqrt a}+\frac{c+a}{\sqrt b}+\frac{a+b}{\sqrt c}\geq \sqrt a+\sqrt b +\sqrt c+3 $.
Ta có $VT \geq 2(\sqrt{\frac{bc}{a}}+\sqrt{\frac{ca}{b}} $$+\sqrt{\frac{ab}{c}}) $.
Tách ra áp dụng AM-GM la okie
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Conan Edogawa]

xin mọi người giải giúp mình bài 151,158,209,427 trong tài liệu trên,cảm ơn nhiều
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Conan Edogawa]

trời ơi sao lâu wa rồi mà vẫn chưa ai giải giúp em vậy,mong mọi người nhanh dùm,cảm ơn nhiều
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dung_thanh]

Nguyên văn bởi Conan Edogawa

trời ơi sao lâu wa rồi mà vẫn chưa ai giải giúp em vậy,mong mọi người nhanh dùm,cảm ơn nhiều

Bài 158: Giải bằng Holder nhưng thực chất cũng là bất đẳng thức cauchy.Vì BDt nào giải dc bằng holder cũng giải dc bằng cauchy.
$V{T^3} = {\left( {\sum {\sqrt[3]{{\frac{{1 + 6ab}}{a}}}} } \right)^3} = {\left( {\sum {\sqrt[3]{{\frac{{bc(1 + 6ab)}}{{abc}}}}} } \right)^3} \le (bc + ca + ab)(3 + 6(ab + bc + ca)).\frac{3}{{abc}} = \frac{{27}}{{abc}} $
mà theo BDT cauchy thì $ab.bc.ca \le {\left( {\frac{{ab + ca + ca}}{3}} \right)^3} \Rightarrow \frac{{27}}{{abc}} \le \frac{1}{{{a^3}{b^3}{c^3}}} $
từ đó ta có đpcm. umb:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Minh Tuấn]

Nguyên văn bởi Conan Edogawa

các bạn giải giúp mình bài 151,158,209,427 trong tài liệu trên dùm mình.Lưu ý chỉ áp dụng BDT Cauchy,nếu ko ra mới dùng cách khác nha.Cảm ơn nhiều

Bài 151: Ta có:
$VT\leq \frac{xyz(\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}+\sqrt{x^2+y^2+z^2} )}{(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)}=\frac{(\sqrt{3}+1)xyz} {\sqrt{x^2+y^2+z^2}(xy+yz+zx)}\leq 1 $
Vì:
$\sqrt{x^2+y^2+z^2}\geq \sqrt{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}=\sqrt{3}\sqrt[3]{xyz} $
$xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2} $
Bài 158:
Áp dụng BĐT Holder ta có:
$VT^3\leq (1+6ab+1+6bc+1+6ca)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{ 1}{c})(1+1+1)=\frac{27}{abc}=\frac{27ab.bc.ca}{a^3 b^3c^3}\leq \frac{1}{(abc)^3} $
Bài 209:
Mũ ba cả 2 vế rồi rút gọn ta được BĐT cần chứng minh tương đương với:
$9(abc)^2(1+6abc(a+b+c))\leq 1 $
Lại có:
$(ab.bc.ca)\leq (\frac{ab+bc+ca}{3})^3=\frac{1}{3} $
và
$1+6(ab.bc+bc.ca+ca.ab)\leq 1+6\frac{(ab+bc+ca)^2}{3}=3 $
Suy ra đpcm
Bài 427:
Ta có:
$\frac{a^2}{b}+9a^2b\geq 2\sqrt{\frac{a^2}{b}9a^2b}=6a^2 $
Thiết lập 2 BĐT tương tự suy ra:
$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+9(a^2b+b ^2c+c^2a)\geq 6(a^2+b^2+c^2) $
lại có: $a^2+b^2+c^2\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a) $
Thật vậy BĐT tương đương với:
$a^2(a-2b+c)+b^2(a+b-2c)+c^2(-2a+b+c) \geq0 (*) $
(*) đúng vì $a^3+ab^2\geq2a^2b,... $
Vậy: $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+9(a^2b+b ^2c+|c^2a)\geq 3(a^2+b^2+c^2)+3(a^2+b^2+c^2) \geq3(a^2+b^2+c^2)+ 9(a^2b+b^2c+c^2a) $
Suy ra đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Conan Edogawa]

làm dùm em thêm bài 399 đi anh Minh Tuấn,cũng chỉ = Cauchy thoi nha anh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[CONAN]

nhờ bạn gửi file bài giải cuốn sách này cho mình được ko.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Conan Edogawa]

nếu mình có bài giải rồi thì việc gì mình phải lên đây nhờ các cao thủ giải giúp nữa
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Pro LHP]

Nguyên văn bởi Conan Edogawa

nếu mình có bài giải rồi thì việc gì mình phải lên đây nhờ các cao thủ giải giúp nữa

nghe noi đây là cuốn nóng bỏng trên thị trường fai ko
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Conan Edogawa]

cuốn này bài tập được mà tiếc ko có đáp án => cảm nhận riêng là ko hay lắm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[assassin_dark]

Anh chị nào giúp em giải bài 393 với :
Cho a,b,c là các số dương .Chứng minh rằng

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]