Nghiệm max và min

99 · 15-09-2010, 08:01 PM

99 có bài tập này rất hay, lấy trong cuốn ODEs của Petrovski.

Đề bài : Giả sử $f(x,y) $ là hàm liên tục bị chặn trong dải $a<x<b $ của $\mathbb{R}^2 $. Xét phương trình vi phân $y' = f(x,y) $. Theo định lý Peano thì qua mỗi điểm $(x_0,y_0) $ có một nghiệm đi qua điểm đó, và không nhất thiết phải duy nhất nghiệm.

Chứng minh rằng có hai nghiệm $\phi_1 $ và $\phi_2 $ được gọi là nghiệm max và nghiệm min theo nghĩa như sau :

a. $\phi_1(x)\geq \phi_2(x) $ với mọi $a<x<b $, và $\phi_1(x_0) = \phi_2(x_0) = y_0 $.
b. Toàn bộ phần của dải $a<x<b $ được giới hạn bởi hai đường cong tích phân này được lấp đầy bởi các đường cong tích phân đi qua $(x_0,y_0) $
c. Không có đường cong tích phân nào đi qua $(x_0,y_0) $ nằm ngoài miền xác định ở b.

nguyenxuanhuy · 16-09-2010, 12:10 AM

Sao lại qua mỗi điểm $(x_0,y_0) $ có một nghiệm đi qua điểm đó,minh nghe thấy lạ quá.mà 99 đang ôn thoi cao học ah?

99 · 16-09-2010, 01:09 AM

Nghiệm $\phi $ của phương trình vi phân đc gọi là đi qua $(x_0,y_0) $ nếu $\phi(x_0) = y_0 $. Cái này là thuật ngữ riêng của phương trình vi phân.

PS : 99 học cao học rồi.

15-09-2010, 08:01 PM	#1
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Nghiệm max và min 99 có bài tập này rất hay, lấy trong cuốn ODEs của Petrovski. Đề bài : Giả sử $f(x,y) $ là hàm liên tục bị chặn trong dải $a<x<b $ của $\mathbb{R}^2 $. Xét phương trình vi phân $y' = f(x,y) $. Theo định lý Peano thì qua mỗi điểm $(x_0,y_0) $ có một nghiệm đi qua điểm đó, và không nhất thiết phải duy nhất nghiệm. Chứng minh rằng có hai nghiệm $\phi_1 $ và $\phi_2 $ được gọi là nghiệm max và nghiệm min theo nghĩa như sau : a. $\phi_1(x)\geq \phi_2(x) $ với mọi $a<x<b $, và $\phi_1(x_0) = \phi_2(x_0) = y_0 $. b. Toàn bộ phần của dải $a<x<b $ được giới hạn bởi hai đường cong tích phân này được lấp đầy bởi các đường cong tích phân đi qua $(x_0,y_0) $ c. Không có đường cong tích phân nào đi qua $(x_0,y_0) $ nằm ngoài miền xác định ở b.

16-09-2010, 12:10 AM	#2
nguyenxuanhuy +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Bài gởi: 37 Thanks: 36 Thanked 32 Times in 11 Posts	Sao lại qua mỗi điểm $(x_0,y_0) $ có một nghiệm đi qua điểm đó,minh nghe thấy lạ quá.mà 99 đang ôn thoi cao học ah? __________________ Đời trai thiếu tiền

16-09-2010, 01:09 AM	#3
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Nghiệm $\phi $ của phương trình vi phân đc gọi là đi qua $(x_0,y_0) $ nếu $\phi(x_0) = y_0 $. Cái này là thuật ngữ riêng của phương trình vi phân. PS : 99 học cao học rồi.