Ideal của không gian các hàm liên tục

[99]

Giả sử $X $ là không gian Hausdorff compact, $C(X) $ là không gian các hàm liên tục thực hoặc phức và $J $ là một ideal nào đó của $C(X) $.

Đặt $Z_J = \{x\in X : g(x) = 0~ \forall g\in J \} $

Chứng minh rằng bao đóng $\overline{J}= \{g\in C(X) : g|Z_J = 0\} $, ở đấy $C(X) $ là không gian Banach với chuẩn sup.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi 99

Giả sử $X $ là không gian Hausdorff compact, $C(X) $ là không gian các hàm liên tục thực hoặc phức và $J $ là một ideal nào đó của $C(X) $.

Đặt $Z_J = \{x\in X : g(x) = 0~ \forall g\in J \} $

Chứng minh rằng bao đóng $\overline{J}= \{g\in C(X) : g|Z_J = 0\} $, ở đấy $C(X) $ là không gian Banach với chuẩn sup.

hình như là $J\not= C(X) $ để $Z_J\not=\emptyset $

Dễ thấy $\overline{J}\subset \{g\in C(X) : g|Z_J = 0\} $
Giả sử g thỏa mãn $g|Z_J = 0 $, ta chứng minh $g\in \overline{J} $, Trước hết ta chỉ ra rằng, với mọi $\epsilon > 0 $, tồn tại tập mở $V_{\epsilon} $ chứa $Z_J $ sao cho $|g(x)|\leq \epsilon $ với mọi $x\in V_{\epsilon} $. Thật vậy, $Z_J $ là tập đóng, do đó nó là tập compact. Với $x\in Z_J $, $g(x)=0 $, do đó tồn tại lân cận mở $V_x $ của x sao cho $|g(y)|\leq \epsilon $ với mọi $y\in V_x $. Họ các tập $\{V_x\}_{x\in Z_J} $ phủ $Z_J $ do đó tồn tại $x_1,\ldots,x_n\in Z_J $ sao cho $Z_J\subset \cup_{i=1}^nV_{x_i} $. Đặt $V_{\epsilon}=\cup_{i=1}^nV_{x_i} $ là tập cần tìm.

Tiếp theo ta chỉ ra rằng với mọi tập mở V chứa $Z_J $, tồn tại hàm $h_V\in J $ sao cho $h_V(x)\geq 0 $ và $h_V(x)\geq 1 $ với mọi $x\in V^c $. Thật vậy $V^c $ là tập compact, và với $x\in V^c $, tồn tại $h_x\in J $ sao cho $|h_x(x)|\geq 2 $, do tính liên tục nên tồn tại lân cận mở $W_x $ của x sao cho $|h_x(y)|\geq 1 $ với mọi $y\in W_x $. Họ $\{W_x\}_{x\in V^c} $ phủ $V^c $ do đó tồn tại $x_1,\ldots,x_m\in V^c $ sao cho $V^c\subset \cup_{i=1}^mW_{x_i} $. Đặt $h_V=\sum_{i=1}^m h_{x_i}^2\in J $ là hàm cần tìm.

Để chứng minh $g\in \overline{J} $, ta chỉ ra rằng với mọi $\epsilon>0 $, tồn tại $g_{\epsilon}\in J $ sao cho $||g_{\epsilon}-g||\leq \epsilon $. Thật vậy, chọn n sao cho $||g||/(1+n) \leq \epsilon $. Như trên, tồn tại tập mở $V_{\epsilon} $ sao cho $|g(x)|\leq \epsilon $ với $x\in V_{\epsilon} $và tồn tại hàm $h_{\epsilon}\in J $ sao cho $h_{\epsilon}\geq 0 $ và $h_{\epsilon}\geq 1 $ trên $V_{\epsilon}^c $. Đặt
$g_{\epsilon}=\frac{nh_{\epsilon}}{1+nh_{\epsilon}} g $
Do $h_{\epsilon}\in J $ nên $g_{\epsilon}\in J $ và
$||g_{\epsilon}-g||=||\frac{g}{1+nh_{\epsilon}}||\leq \epsilon $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nguyên văn bởi 123456

hình như là $J\not= C(X) $ để $Z_J\not=\emptyset $

Không cần phải giả thiết điều đó vì nếu nó xảy ra thì kết luận vẫn đúng mà anh.

Em cũng tìm ra một lời giải, dùng phân hoạch đơn vị. Tối em sẽ trình bày
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Lời giải của 99 <nhân tiện nói luôn đây là bài tập ở trên lớp>

Xét $g\in C(X) $ thỏa mãn $g|Z_J\equiv 0 $ và $\epsilon > 0 $ bất kỳ.

Ta nhận xét do $J $ là ideal của $C(X) $ và do định nghĩa của tập $Z_J $ nên với mọi $x\in X $ tồn tại $f_x\in J $ sao cho $f_x(x) = g(x) $. Vì vậy tồn tại lân cận $U_x $ của $x $ sao cho $|f_x(y)-g(y)| < \epsilon $ với mọi $y\in U_x $.

Do X là compact nên tồn tại hữu hạn $x_1, \ldots, x_n $ sao cho $U_{x_1},\ldots, U_{x_n} $ phủ $X. $ Do $X $ compact nên tồn tại phân hoạch đơn vị liên tục $\rho_i $ thỏa mãn $supp(\rho_i)\subset U_{x_1} $.

Dễ thấy rằng $\left|\rho_i(x) [f_{x_i}(x) - g(x)]\right| \leq \epsilon \rho_i(x) $ với mọi $x\in X $.

Và do đó $\left{||}\rho_1f_{x_1}+\ldots + \rho_nf_{x_n} - g \right{||} \leq \epsilon $. Ta lại có $\rho_1f_{x_1}+\ldots + \rho_nf_{x_n}\in J $ do $J $ là ideal.

Vì vậy, $g\in \overline{J} $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]