Toán tử com-pắc : điều kiện đủ

99 · 09-08-2010, 12:48 AM

Cho $E,F $ là các không gian Banach. $E $ là không gian phản xạ. $T : E \to F $ là toán tử tuyến tính bị chặn thỏa mãn $T $ biến dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ mạnh.

Chứng minh rằng $T $ là toán tử compact.

(Đề thi cao học quốc tế 2010)

123456 · 09-08-2010, 03:53 AM

Trích:

Nguyên văn bởi 99

Cho $E,F $ là các không gian Banach. $E $ là không gian phản xạ. $T : E \to F $ là toán tử tuyến tính bị chặn thỏa mãn $T $ biến dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ mạnh.

Chứng minh rằng $T $ là toán tử compact.

(Đề thi cao học quốc tế 2010)

Do E phản xạ, $E=E^{**} $, bởi định lý Banach-Alaoglu, mọi tập bị chặn trong E là tập compact tương đối yếu.
Giả sử $A $là tập bị chặn trong E, ta chứng minh $TA $ là tập compact tương đối trong F. Thật vậy, giả sử $y_n $ là một dãy tùy ý trong $TA $, do đó tồn tại $x_n\in A $ sao cho $y_n=Tx_n $, do A là tập compact tương đối yếu, nên tồn tại dãy con $x_{n_k} $ và $x\in E $ sao cho $w-\lim_k x_{n_k}=x $, do giả thiết của T, ta có $\lim_k y_{n_k}=\lim_kTx_{n_k}=Tx $, do đó, mọi dãy trong TA đều có dãy con hội tụ, tức là TA là tập compact tương đối trong F.

99 · 11-08-2010, 01:50 AM

Lúc em thi em cũng làm như thế, nhưng mà về nhà em nghĩ lại thấy như vậy chưa hoàn toàn chính xác, vì đây là không gian topo chứ không phải không gian metric nên không thể trích dẫy con như trên được.

Phải chứng minh thêm một ý là : mọi tập compact yếu trong E là compact yếu dãy (sequentially weakly compact), đây là nội dung của [Only registered and activated users can see links. ].

**brahman** · 11-08-2010, 05:14 PM

Trích:

Nguyên văn bởi 123456

Do E phản xạ, $E=E^{**} $, bởi định lý Banach-Alaoglu, mọi tập bị chặn trong E là tập compact tương đối yếu.F.

Mình nhớ cái trên là định lý Kakutani, áp dụng cho không gian Banach phản xạ. Thêm nữa là đoạn

$Tx_{n_k} \to Tx $

hông ổn lắm

@99: ủa ... anh nhớ không gian Banach là không gian định chuẩn đầy đủ mà kưng ?

123456 · 11-08-2010, 06:01 PM

Trích:

Nguyên văn bởi brahman

Mình nhớ cái trên là định lý Kakutani, áp dụng cho không gian Banach phản xạ. Thêm nữa là đoạn

$Tx_{n_k} \to Tx $

hông ổn lắm

@99: ủa ... anh nhớ không gian Banach là không gian định chuẩn đầy đủ mà kưng ?

Định lý trên là định lý Banach-Alaoglu khẳng định rằng hình cầu đơn vị đóng trong $X^{*} $ là tập compact theo topo $\sigma(X^{*},X) $, và với giả thiết của T, mình không hiểu tại sao $Tx_{n_k}\to Tx $ lại không ổn cả?
Còn X phản xạ thì tự khắc nó là không gian Banach.
@99: đồng ý là cần chỉ ra như gì bạn nói, nhưng mình nghĩ compact thì suy ra compact dãy là hiển nhiên

99 · 11-08-2010, 11:24 PM

Dạ. Trong không gian topo thì mọi giới hạn đều phải định nghĩa theo lưới (tiếng Anh : net/ thuật ngữ khác : dãy suy rộng) mà các anh. Tính compact cũng phải định nghĩa theo lưới chứ? Cho nên ta chỉ có thể làm như thế này : giả sử có một lưới, ta có thể trích ra một lưới con. Dãy số không phải là lưới.

Trong Rudin Functional Analysis cũng có một remark là : có những không gian Hausdorff compact mà mọi dãy các điểm phân biệt không có điểm giới hạn.

Ngoài ra, các anh có thể tham khảo trang 177, A Course in Functional Analysis của Conway. Cách chứng minh cũng loằng ngoằng mà. Ban đầu em nghĩ ông cụ nài bị làm sao =), hóa ra chính em chưa hiểu đúng

Có gì để mai em gõ lời giải đầy đủ lên, để mọi người tham khảo

@anh brahman : vâng ạ, đúng là đầy đủ, nhưng mà sao ạ? Em chưa hiểu anh đang đề cập chuyện gì.

99 · 11-08-2010, 11:38 PM

Upload cái ảnh cho tiện

**brahman** · 12-08-2010, 06:31 PM

Thật ra mình cũng chả hiểu cái đề lắm. Đoạn "$T $ biến dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ mạnh." hiểu thế nào nhỉ ? Cụ thể, lấy $x_n $ hội tụ yếu về $x \in E $ với topo $\sigma ( E, E^*) $ thì

$\left\| Tx_n -Tx \right\|_F \to 0 $

hay là

$ \exists y \in F \; , \; \left\| Tx_n - y \right\|_F \to 0 $

và chuyện $y = Tx $ (hoặc $y \in T(A) $) không hiển nhiên mà có ??

Trích:

Nguyên văn bởi 123456

Định lý trên là định lý Banach-Alaoglu khẳng định rằng hình cầu đơn vị đóng trong $X^{*} $ là tập compact theo topo $\sigma(X^{*},X) $

Đúng roài ! Nhưng mình thấy cái cần là khẳng định $B_E $ compact yếu chứ không phải $B_{E^*} $

tức là, cần trích được dãy con $x_{n_k} \in B_E $ hội tụ yếu đối với topo $\sigma ( E, E^*) $, kết quả này là của Kakutani. Đọc trong Haim-Brezis thì định lý Banach-Alaoglu dùng để chứng minh chiều thuận của định lý Kakutani, nhưng không hiển nhiên lắm.

@99: ý anh là trên không gian định chuẩn mình làm việc với dãy thì có vấn đề gì đâu (?!) Mà định nghĩa $A \subset E $ compact đối với topo $\sigma ( E, E^*) $ nó như thế nào nhỉ ? anh không rõ lắm

99 · 12-08-2010, 08:14 PM

Về đề bài thì em hiểu thắc mắc của anh : em viết như trên chỉ là văn nói.

Đề bài chuẩn : Cho $E, F $ là hai không gian Banach, $E $ là không gian phản xạ. Giả sử $T: E\to F $ là toán tử tuyến tính bị chặn, thỏa mãn nếu $x_n\to x $ yếu trong $E $ thì $Tx_n\to Tx $ mạnh trong $F $ (nghĩa là hội tụ theo tô pô chuẩn của $F $). Chứng minh $T $ là toán tử com-pắc.

---------

Chứng minh của anh 123456 về hình cầu đóng đơn vị là com-pắc yếu em nghĩ là đúng rồi. Vì thế này, khi E phản xạ thì topo $\sigma(E,E^{\ast})= \sigma(E^{\ast\ast},E^{\ast}) $.

Theo định lý Banach-Alaoglu, hình cầu đóng đơn vị trong $E^{\ast\ast} $ là $\sigma(E^{\ast\ast},E^{\ast}) $-compắc. Nếu E phản xạ thì ta đồng nhất $E $ và $E^{\ast\ast} $, nên hình cầu đơn vị trong E là $\sigma(E,E^{\ast}) $-compắc, hay compact yếu.

Về chuyện em thắc mắc là không trích dẫy được vì ta đang làm việc trên topo yếu, mà topo yếu thì chưa chắc có cơ sở địa phương đếm được, nên khái niệm lưới và dãy không tương đương nhau.

Thế nên trong chứng minh mà em dán file ở trên của Conway, ông xét hai trường hợp là E khả ly và không khả ly. Thực chất là chứng minh lại định lý Eberlein-Smulian.

$A\subset E $ compact yếu thì định nghĩa như thông thường thôi mà anh (mọi phủ mở của A có phủ con hữu hạn)

Nhận xét : hồi mới học giải tích hàm năm thứ 4, em cũng thấy hơi chán học vì chả hiểu thế nào là topo mạnh với yếu, ở SP còn học cả topo Mackey, đến giờ vẫn chẳng hiểu =) . Thảo luận thế nài mới vỡ ra nhiều điều phết

09-08-2010, 12:48 AM	#1
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Toán tử com-pắc : điều kiện đủ Cho $E,F $ là các không gian Banach. $E $ là không gian phản xạ. $T : E \to F $ là toán tử tuyến tính bị chặn thỏa mãn $T $ biến dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ mạnh. Chứng minh rằng $T $ là toán tử compact. (Đề thi cao học quốc tế 2010)

11-08-2010, 01:50 AM	#3
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Lúc em thi em cũng làm như thế, nhưng mà về nhà em nghĩ lại thấy như vậy chưa hoàn toàn chính xác, vì đây là không gian topo chứ không phải không gian metric nên không thể trích dẫy con như trên được. Phải chứng minh thêm một ý là : mọi tập compact yếu trong E là compact yếu dãy (sequentially weakly compact), đây là nội dung của [Only registered and activated users can see links. ].

11-08-2010, 11:24 PM	#6
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Dạ. Trong không gian topo thì mọi giới hạn đều phải định nghĩa theo lưới (tiếng Anh : net/ thuật ngữ khác : dãy suy rộng) mà các anh. Tính compact cũng phải định nghĩa theo lưới chứ? Cho nên ta chỉ có thể làm như thế này : giả sử có một lưới, ta có thể trích ra một lưới con. Dãy số không phải là lưới. Trong Rudin Functional Analysis cũng có một remark là : có những không gian Hausdorff compact mà mọi dãy các điểm phân biệt không có điểm giới hạn. Ngoài ra, các anh có thể tham khảo trang 177, A Course in Functional Analysis của Conway. Cách chứng minh cũng loằng ngoằng mà. Ban đầu em nghĩ ông cụ nài bị làm sao =), hóa ra chính em chưa hiểu đúng Có gì để mai em gõ lời giải đầy đủ lên, để mọi người tham khảo @anh brahman : vâng ạ, đúng là đầy đủ, nhưng mà sao ạ? Em chưa hiểu anh đang đề cập chuyện gì.

12-08-2010, 08:14 PM	#9
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Về đề bài thì em hiểu thắc mắc của anh : em viết như trên chỉ là văn nói. Đề bài chuẩn : Cho $E, F $ là hai không gian Banach, $E $ là không gian phản xạ. Giả sử $T: E\to F $ là toán tử tuyến tính bị chặn, thỏa mãn nếu $x_n\to x $ yếu trong $E $ thì $Tx_n\to Tx $ mạnh trong $F $ (nghĩa là hội tụ theo tô pô chuẩn của $F $). Chứng minh $T $ là toán tử com-pắc. --------- Chứng minh của anh 123456 về hình cầu đóng đơn vị là com-pắc yếu em nghĩ là đúng rồi. Vì thế này, khi E phản xạ thì topo $\sigma(E,E^{\ast})= \sigma(E^{\ast\ast},E^{\ast}) $. Theo định lý Banach-Alaoglu, hình cầu đóng đơn vị trong $E^{\ast\ast} $ là $\sigma(E^{\ast\ast},E^{\ast}) $-compắc. Nếu E phản xạ thì ta đồng nhất $E $ và $E^{\ast\ast} $, nên hình cầu đơn vị trong E là $\sigma(E,E^{\ast}) $-compắc, hay compact yếu. Về chuyện em thắc mắc là không trích dẫy được vì ta đang làm việc trên topo yếu, mà topo yếu thì chưa chắc có cơ sở địa phương đếm được, nên khái niệm lưới và dãy không tương đương nhau. Thế nên trong chứng minh mà em dán file ở trên của Conway, ông xét hai trường hợp là E khả ly và không khả ly. Thực chất là chứng minh lại định lý Eberlein-Smulian. $A\subset E $ compact yếu thì định nghĩa như thông thường thôi mà anh (mọi phủ mở của A có phủ con hữu hạn) Nhận xét : hồi mới học giải tích hàm năm thứ 4, em cũng thấy hơi chán học vì chả hiểu thế nào là topo mạnh với yếu, ở SP còn học cả topo Mackey, đến giờ vẫn chẳng hiểu =) . Thảo luận thế nài mới vỡ ra nhiều điều phết