Bất đẳng thức tích phân cho hàm lồi.

123456 · 12-04-2011, 04:32 AM

Cho $h: [0,1]\to R $ là hàm lồi, $h(0)=0 $, chứng minh rằng
$\int_0^1h(x)dx\leq \frac{3}{2}\int_0^1xh(x)dx. $
Hơn nữa, chứng minh rằng bất đẳng thức trên tương đương với bất đẳng thức sau:
Cho $f: [0,1]\to R $ là hàm lõm, $f(0)=1 $ thì
$\int_0^1xf(x)dx\leq \frac{2}{3}(\int_0^1f(x)dx)^2 $

Vmsang · 15-12-2011, 08:49 PM

Bạn có lời giải các bài không?

123456 · 16-12-2011, 09:05 AM

Chứng minh bdt thứ nhất: do $h(0)=0 $, từ tính lồi của h, ta có $\frac{h(t)}{t} $ là hàm tăng trên $[0,1] $. Với mọi $x\in [0,1] $ ta có
$\int_0^1 h(t)dt=\int_0^xh(t)dt + \int_x^1h(t)dt\leq \frac{xh(x)}{2}+\int_x^1h(t)dt $
lấy tích phân từ 0 tới 1 theo x, áp dụng định lý Fubini, suy ra dpcm.

Áp dụng bdt cho hàm $h(x)=1-f(x) $ với f thỏa mãn điều kiện của bdt sau, ta thu được
$\int_0^1xf(x)\leq \frac{2}{3}\int_0^1f(x)dx-\frac{1}{6}\leq \frac{2}{3}(\int_0^1f(x)dx)^2 $
Bdt thứ hai được chứng minh.

Ta chỉ ra rằng bdt sau suy ra bdt đầu: Áp dụng bất đẳng thức sau cho $f(x)+tx $ với $t\in R $, ta được:
$\int_0^1xf(x)dx +\frac{t}{3}\leq \frac{2}{3}((\int_0^1f(x)dx)^2+t\int_0^1f(x)dx+ \frac {t^2}{4}) $
điều này tương đương với
$\frac{3}{2}\int_0^1xf(x)dx\leq \frac{t^2}{4} + t(\int_0^1f(x)dx-\frac{1}{2})+(\int_0^1 f(x)dx)^2 $
bdt này đúng với mọi t, mà vế phải đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=-(2\int_0^1f(x)dx-1) $, do đó
$\frac{3}{2}\int_0^1xf(x)dx\leq \int_0^1f(x)dx -\frac{1}{4} $
Áp dụng bdt này cho $f(x)=1-h(x) $ với h thỏa mãn điều kiện của đề bài, ta suy ra bdt đầu tiên.

Vmsang · 11-01-2012, 03:53 PM

Bạn có thể nói rõ định lí fubini là thế nào không?

LichKing · 09-02-2012, 01:15 AM

Định lý Fubini bạn có thể dễ dàng tìm trên google được!
Bài bất đẳng thức số 2 đã từng là đề thi chọn đội tuyển olimpic toán sinh viên của đại học KTQD, vậy có cách giải nào sơ cấp hơn không ạ? Em xin cám ơn!

99 · 09-02-2012, 02:27 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Vmsang

Bạn có thể nói rõ định lí fubini là thế nào không?

Định lý Fubini là định lý cơ bản của lý thuyết tích phân, cho phép khi nào được đảo thứ tự lấy tích phân 2 lớp.

123456 · 09-02-2012, 06:31 AM

Trích:

Nguyên văn bởi LichKing

Định lý Fubini bạn có thể dễ dàng tìm trên google được!
Bài bất đẳng thức số 2 đã từng là đề thi chọn đội tuyển olimpic toán sinh viên của đại học KTQD, vậy có cách giải nào sơ cấp hơn không ạ? Em xin cám ơn!

Mình thấy bất đẳng thức đó trong diễn đàn, thấy hay nên giải thử, bằng lí luận như trên mình tìm ra bất đẳng thức thứ nhất dễ giải hơn (theo suy nghĩ của mình) và lại tương đương với bất đẳng thức thứ hai

ps: Nói chung khi gặp bài toán thì nên tìm hiểu đặc điểm của nó, trước khi hùng hục tìm cách giải.

LichKing · 09-02-2012, 01:26 PM

Trích:

Nguyên văn bởi 123456

Mình thấy bất đẳng thức đó trong diễn đàn, thấy hay nên giải thử, bằng lí luận như trên mình tìm ra bất đẳng thức thứ nhất dễ giải hơn (theo suy nghĩ của mình) và lại tương đương với bất đẳng thức thứ hai

ps: Nói chung khi gặp bài toán thì nên tìm hiểu đặc điểm của nó, trước khi hùng hục tìm cách giải.

Em cám ơn anh về lời khuyên trên ạ, hồi biết làm được bài này em hộc hộc làm ngay và cho đến bây giờ vẫn chưa giải được!
Em vẫn thắc mắc là không biết có lời giải nào không đả đụng đến định lý Fubini cho tích phân hai lớp không?

12-04-2011, 04:32 AM	#1
123456 +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts	Bất đẳng thức tích phân cho hàm lồi. Cho $h: [0,1]\to R $ là hàm lồi, $h(0)=0 $, chứng minh rằng $\int_0^1h(x)dx\leq \frac{3}{2}\int_0^1xh(x)dx. $ Hơn nữa, chứng minh rằng bất đẳng thức trên tương đương với bất đẳng thức sau: Cho $f: [0,1]\to R $ là hàm lõm, $f(0)=1 $ thì $\int_0^1xf(x)dx\leq \frac{2}{3}(\int_0^1f(x)dx)^2 $

15-12-2011, 08:49 PM	#2
Vmsang +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2011 Bài gởi: 5 Thanks: 3 Thanked 2 Times in 2 Posts	Bạn có lời giải các bài không?

16-12-2011, 09:05 AM	#3
123456 +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts	Chứng minh bdt thứ nhất: do $h(0)=0 $, từ tính lồi của h, ta có $\frac{h(t)}{t} $ là hàm tăng trên $[0,1] $. Với mọi $x\in [0,1] $ ta có $\int_0^1 h(t)dt=\int_0^xh(t)dt + \int_x^1h(t)dt\leq \frac{xh(x)}{2}+\int_x^1h(t)dt $ lấy tích phân từ 0 tới 1 theo x, áp dụng định lý Fubini, suy ra dpcm. Áp dụng bdt cho hàm $h(x)=1-f(x) $ với f thỏa mãn điều kiện của bdt sau, ta thu được $\int_0^1xf(x)\leq \frac{2}{3}\int_0^1f(x)dx-\frac{1}{6}\leq \frac{2}{3}(\int_0^1f(x)dx)^2 $ Bdt thứ hai được chứng minh. Ta chỉ ra rằng bdt sau suy ra bdt đầu: Áp dụng bất đẳng thức sau cho $f(x)+tx $ với $t\in R $, ta được: $\int_0^1xf(x)dx +\frac{t}{3}\leq \frac{2}{3}((\int_0^1f(x)dx)^2+t\int_0^1f(x)dx+ \frac {t^2}{4}) $ điều này tương đương với $\frac{3}{2}\int_0^1xf(x)dx\leq \frac{t^2}{4} + t(\int_0^1f(x)dx-\frac{1}{2})+(\int_0^1 f(x)dx)^2 $ bdt này đúng với mọi t, mà vế phải đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=-(2\int_0^1f(x)dx-1) $, do đó $\frac{3}{2}\int_0^1xf(x)dx\leq \int_0^1f(x)dx -\frac{1}{4} $ Áp dụng bdt này cho $f(x)=1-h(x) $ với h thỏa mãn điều kiện của đề bài, ta suy ra bdt đầu tiên.

11-01-2012, 03:53 PM	#4
Vmsang +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2011 Bài gởi: 5 Thanks: 3 Thanked 2 Times in 2 Posts	Bạn có thể nói rõ định lí fubini là thế nào không?

09-02-2012, 01:15 AM	#5
LichKing +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2011 Bài gởi: 75 Thanks: 39 Thanked 54 Times in 33 Posts	Định lý Fubini bạn có thể dễ dàng tìm trên google được! Bài bất đẳng thức số 2 đã từng là đề thi chọn đội tuyển olimpic toán sinh viên của đại học KTQD, vậy có cách giải nào sơ cấp hơn không ạ? Em xin cám ơn!