Từ bài USAMO 1976 đến Quảng Ninh 2017

[huynhcongbang]

Trong đề thi HSG của Mỹ cách đây hơn 40 năm, có 1 bài đa thức như sau:

Cho $P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$, và $S(x)$ là các đa thức thỏa mãn \[P(x^5) + xQ(x^5) + x^2 R(x^5) = (x^4 + x^3 + x^2 + x +1) S(x),\] chứng minh rằng $x-1$ là một nhân tử của $P(x)$.

Bài toán này có thể được giải quyết bằng cách dùng số phức, thay các căn bậc 5 của đơn vị thích hợp để tìm ra các liên hệ giữa các đa thức đã cho.

https://artofproblemsolving.com/wiki...lems/Problem_5

Còn đây là bài toán trong đề Quảng Ninh 2017:

[Quảng Ninh] Cho $P(x),\,Q(x),\,R(x)$ là các đa thức khác hằng, có hệ số thực và thoả mãn:
\[P(x^2-x)+xQ(x^3-x)-(x^2-4)R(x) \quad\forall\, x \in \mathbb{R}\]
Chứng minh rằng phương trình $Q(x)+R(x-3)$ có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt.
Giả sử rằng tổng bậc của $P(x),\,Q(x),\,R(x)$ là 5 và hệ số cao nhất của $R(x)$ là 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[M=P^2(0)+8Q^2(3)\]

Mình tin rằng tác giả đã sáng tác bài này dựa trên ý tưởng của bài USAMO kia. Vì việc thay các số vào tìm liên hệ chẳng qua khác nhau ở việc số thực / số phức mà thôi; các yếu tố còn lại rất tương tự.

Dưới đây là lời giải chi tiết của bài toán đó:

a) Trong đẳng thức đã cho, lần lượt thay $x=2,x=-2$, ta có
$$P(2)+2Q(2)=0,P(6)-2Q(6)=0.$$
Để có ${{x}^{2}}-x=2$, ngoài $x=2$, ta còn có $x=-1$ nên thay tiếp $x=-1$ vào, ta được
$$P(2)-Q(2)=-3R(-1).$$
Từ đó suy ra $-3Q(2)=-3R(-1)$ hay $Q(2)=R(-1)$.
Tương tự, thay $x=3$ vào, ta có $P(6)+3Q(6)=5R(3)$ nên $Q(6)=R(3).$
Vậy $Q(x)=R(x-3)$ có hai nghiệm phân biệt là $x=2,x=6.$

b) Gọi $m,n,p\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ lần lượt là bậc của $P(x),Q(x),R(x)$ thì
$$m+n+p=5 \text{ và } \max \left\{ 2m,2n+1 \right\}=p+2.$$
Dễ thấy $m=2,n=1,p=2$. Đặt $Q(x)=ax+b$ với $a\ne 0.$
Vì $R(x-3)-Q(x)$ là đa thức bậc hai, có hệ số cao nhất bằng 1 và có hai nghiệm là $x=2,x=6$ nên $R(x-3)-Q(x)=(x-2)(x-6).$ Suy ra $R(x-3)={{x}^{2}}-8x+12+ax+b$.
Từ đó ta tính được
$$R(x)={{(x+3)}^{2}}-8(x+3)+12+a(x+3)+b={{x}^{2}}+x(a-2)+3a+b-3.$$
Trong đẳng thức đề bài cho, thay $x=0$, ta có $P(0)=-4R(0)=-4(3a+b-3).$
Suy ra ${{P}^{2}}(0)+8{{Q}^{2}}(3)=16{{(3a+b-3)}^{2}}+8{{(3a+b)}^{2}}$.
Đặt $c=3a+b$, ta có $${{P}^{2}}(0)+8{{Q}^{2}}(3)=16{{(t-3)}^{2}}+8{{t}^{2}}=24({{t}^{2}}-4t+6)\ge 48.$$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $M$ là $48$, đạt được khi $t=2$ hay $3a+b=2.$
Ứng với $a=1,b=-1$, ta có các đa thức $P(x)={{x}^{2}}-5x+4,Q(x)=x-1,R(x)={{x}^{2}}-x-1$ thỏa mãn đề bài và ${{P}^{2}}(0)+8{{Q}^{2}}(3)=16+8\cdot {{2}^{2}}=48.$

Câu hỏi thú vị đặt ra là tại sao tác giả lại nghĩ ra được cách chọn các đa thức thích hợp để có các nghiệm đẹp như thế. Số 2 và 6 ở câu a có lý do nào để suy luận ra được hay không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]