Đề thi tuyển sinh đại học Khối D năm 2012

[Trầm]

Đề thi tuyển sinh đại học Khối D năm 2012

Thời gian làm bài: 180 phút

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{2}{3}x^3 - mx^2 - 2\left( 3m^2 - 1 \right)x + \dfrac{2}{3}\,\,\left( 1 \right)$, với $m$ là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $(1)$ khi $m=1$.
b) Tìm $m$ để hàm số $(1)$ có hai điểm cực trị $x_1$ và $x_2$ sao cho $x_1x_2 + 2\left( x_1 + x_2 \right) = 1$.

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình $\sin 3x + \cos 3x - \sin x + \cos x = \sqrt 2 \cos 2x$.

Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} xy + x - 2 = 0\\ 2{x^3} - {x^2}y + {x^2} + {y^2} - 2xy - y = 0 \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {x,y} \in \mathbb{R}\right)$

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân $\displaystyle I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x\left( {1 + \sin 2x} \right)dx} $

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình hộp đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, tam giác $A'AC$ vuông cân, $A'C=a$. Tính thể tích của khối tứ diện $ABB'C'$ và khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {BCD'} \right)$ theo $a$.

Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 2xy \le 32$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = {x^3} + {y^3} + 3\left( {xy - 1} \right)\left( {x + y - 2} \right)$

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B).

A. Theo chương trình Chuẩn

Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$. Các đường thẳng $AC$ và $AD$ lần lượt có phương trình là $x+3y=0$ và $x-y+4=0$; đường thẳng $BD$ đi qua điểm $M\left( - \dfrac{1}{3};1 \right)$. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật $ABCD$.

Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x + y - 2z + 10 = 0$ và điểm $I\left( 2;1;3 \right)$. Viết phương trình mặt cầu tâm $I$ và cắt $(P)$ theo một đường tròn có bán kính bằng $4$.

Câu 9.a (1,0 điểm). Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( {2 + i} \right)z + \dfrac{{2\left( {1 + 2i} \right)}}{{1 + i}} = 7 + 8i$. Tìm môđun của số phức $w= z + 1 + i$.

B. Theo chương trình Nâng cao

Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:2x-y+3=0$. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc $d$, cắt $Ox$ tại $A$ và $B$. cắt $Oy$ tại $C$ và $D$ sao cho $AB=CD=2$.

Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{1}$ và hai điểm $A\left( {1; - 1;2} \right),\,\,B\left( {2; - 1;0} \right)$. Xác định tọa độ điểm $M$ thuộc $d$ sao cho tam giác $AMB$ vuông tại $M$.

Câu 9.b (1,0 điểm). Giải phương trình ${z^2} + 3\left( {1 + i} \right)z + 5i = 0$ trên tập hợp các số phức.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ttptcva3]

Anh em xem giúp tớ:câu 6: min có phải tại điểm x+y=$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} $
------------------------------
Câu 3:
phương trình 2 tương đương $(x^2-y)(2x-y+1)=0 $
tới đây thay vào 1 được 3 nghiệm:
$(x,y)=(1;1),(\frac{-1+\sqrt{5}}{2};\sqrt{5}),( $($\frac{-1-\sqrt{5}}{2};\sqrt{5} $
------------------------------
Bài 2:
nhóm lại được:
$(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)(\sin x+\cos x+\dfrac{1}{\sqrt{2}})=0$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kfc_chinhhieu]

Câu 6: từ điều kiện suy ra $x+y $ thuộc đoạn $[0;8] $. Ta có $A=(x+y)^3-6xy-3(x+y) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ttptcva3]

Nguyên văn bởi kfc_chinhhieu

Câu 6: từ điều kiện suy ra x+y thuộc đoạn [0;8]. Ta có A=(x+y)^{3}-6xy-3(x+y)

chuẩn: giống mình.chắc đúng rồi!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Highschoolmath]

Nguyên văn bởi tanggo

Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 2xy \le 32$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = {x^3} + {y^3} + 3\left( {xy - 1} \right)\left( {x + y - 2} \right)$

Đập tung cái điều kiện ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 2xy \le 32 $ ra, ta thu được $0 \leq x+y \leq 8 $.
Còn biểu thức cần tính thì sẽ tương đương:
$A=(x+y)^3-6xy-3(x+y) +6\geq (x+y)^3-\frac{3}{2}(x+y)^2-3(x+y)+6 $
Khảo sát hàm $A(t)=t^3-\frac{3}{2}t^2-3t+6 $ trên $[0,8] $ để tìm ra cực trị.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[JokerNVT]

Nguyên văn bởi Highschoolmath

Đập tung cái điều kiện ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 2xy \le 32 $ ra, ta thu được $0 \leq x+y \leq 8 $.
Còn biểu thức cần tính thì sẽ tương đương:
$P=(x+y)^3-6xy-3(x+y) \geq (x+y)^3-\frac{3}{2}(x+y)^2-3(x+y) $
Khảo sát hàm $P(t)=t^3-\frac{3}{2}t^2-3t $ trên $[0,8] $ để tìm ra cực trị.

Em có thắc mắc là $x,y\in R $ với $x+y\geq 0 $ thì chưa chắc $x $ hoặc $y>0 $ thì làm sao mà Cauchy được nhỉ ???
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Trầm]

$(x+y)^2 \ge 4xy$ đúng với mọi $x, y \in R$ mà.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Red Devils]

Nguyên văn bởi JokerNVT

Em có thắc mắc là $x,y\in R $ với $x+y\geq 0 $ thì chưa chắc $x $ hoặc $y>0 $ thì làm sao mà Cauchy được nhỉ ???

Giải thích kiểu cấp 2 là $4xy=(x+y)^2-(x-y)^2\leq (x+y)^2 $. Ngày thi vào lớp 10 mình dùng y xì biểu thức này
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[v.t.t_96]

Câu 2: Pt tương đương
$$ -4\sin^{3}x+2\sin x+4\cos^{3}x-2\cos x =\sqrt{2} \left( \cos^{2}x-\sin^{2}x \right) $$
$$\Rightarrow -4\left( \sin x-\cos x \right)\left( 1+\sin x\cos x \right) +2\left( \sin x -\cos x \right)+ \sqrt{2}\left( \sin^{2}x-\cos^{2}x \right)=0$$
$$\Rightarrow ....$$ $$\Rightarrow \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)=\sin 2x+1=2\sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)\cos \left( x-\frac{\pi}{4} \right)$$
Đến đây chuyển qua VT nhóm hạng tử là xong .
Câu 3: Pt thứ 2 tương đương :
$$2x\left( x^2-y \right)-y\left( x^2-y \right)+x^2-y=0$$
$$\Rightarrow \left( x^2-y \right)\left( 2x-y+1 \right)=0$$
Đến đây đơn giản .
Câu 6: Từ đề bài suy ra $$\left( x+y \right)^2 -8\left( x+y \right) \leq 0$$
$$\Rightarrow 0\leq x+y \leq 8$$
$$ A =\left( x+y \right)^3 -6xy-3\left( x+y \right)+6 \geq \left( x+y \right)^3-\frac{3}{2}\left( x+y \right)^{2}-3\left( x+y \right)+6 =t^3-\frac{3}{2}t^2 -3t+6 \left( t=x+y \right)$$
Đến đây dùng đạo hàm tính ra Min là $$\frac{17-5\sqrt{5}}{4}$$ thì phải
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[madman]

Nguyên văn bởi mt123

I.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} xy + x - 2 = 0\\ 2{x^3} - {x^2}y + {x^2} + {y^2} - 2xy - y = 0 \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {x,y} \in \mathbb{R}\right)$

Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 2xy \le 32$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = {x^3} + {y^3} + 3\left( {xy - 1} \right)\left( {x + y - 2} \right)$

Câu 3, để ý pt(2) phân tích thành:$(x^2-y)(2x-y+1)=0 $, sau đó thế y vào pt còn lại là xong
Câu 6. quen thuộc. ta xử lý giả thuyết như sau:
${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 2xy \le 32 $
$\Leftrightarrow (x+y)^2-8(x+y)\leq 0 $
$\Leftrightarrow 0\leq x+y\leq 8 $
Ta có: $A=(x+y)^3-3(x+y)-6xy+6\geq (x+y)^3-3(x+y)-\frac{3}{2}(x+y)^2+6 $
Xét $f(t)=t^3-\frac{3}{2}t^2-3t+6, t\in \left [ 0;8 \right ] $. Đến đây thật sự dễ rồi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hanhphuc254]

Ai có kinh nghiệm phân tích nhân tử dạng như bài hệ phương trình không?

Vào phòng thi mà bối rối thì khó mà ra được.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[DaiToan]

Có một cách đơn giản thường làm nhất cho dạng bài hệ này là bạn coi PT(2) là PT bậc hai ẩn y, sau đó tính delta và giải y theo x. Dạng này đã được thi ở đề KD-2008: $$\left\{ \begin{array}{l}
xy + x + y = {x^2} - 2{y^2}\\
x\sqrt {2y} - y\sqrt {x - 1} = 2x - 2y
\end{array} \right.$
$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]