Bài bất đẳng thức trong đề thi Mongolian Mathematical Olympiad 2010

[can_hang2008]

Cho ba số thực phân biệt $a,\;b,\;c. $ Chứng minh rằng
$\frac{(b-c)^4}{(a-b)^2(a-c)^2}+\frac{(c-a)^4}{(b-c)^2(b-a)^2}+\frac{(a-b)^4}{(c-a)^2(c-b)^2} \ge \frac{33}{2}. $

P.s: Tác giả bài toán là Võ Quốc Bá Cẩn.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Bài này chỉ có cái gợi ý là hay nhất

Bây giờ mới là gợi ý thật:

Không mất tính tổng quát, giả sử a > b > c.

Đặt a = b + x, b = c + y với x, y > 0. Sau đó dùng AM-GM.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Silva]

Nguyên văn bởi can_hang2008

P.s: Tác giả bài toán là Võ Quốc Bá Cẩn.

Có gì là bằng chứng không? Hay là nhận vơ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi namdung

Bài này chỉ có cái gợi ý là hay nhất

Bây giờ mới là gợi ý thật:

Không mất tính tổng quát, giả sử a > b > c.

Đặt a = b + x, b = c + y với x, y > 0. Sau đó dùng AM-GM.

Để em tiếp một chút hén thầy!
Đặt như trên rồi thay vào biểu thức đã cho, ta có:
$\frac{x^4}{y^2.(x+y)^2}+\frac{y^4}{x^2.(x+y)^2}+ \frac{(x+y)^{4}}{x^{2}y^{2}}\ge\frac{33}{2} $
Ta có:
$\frac{x^4}{y^2.(x+y)^2}+\frac{y^4}{x^2.(x+y)^2}= \frac{(x^{6}+y^{6})}{x^{2}y^{2}(x+y)^{2}}= \frac{(x^2+y^2).(x^4-x^2.y^2+y^4)}{x^{2}.y^{2}.(x+y)^{2}}\ge\frac{1}{2} $.
$\frac{(x+y)^4}{x^2.y^2} \ge 16 $.
Cộng 2 BĐT lại, ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $x=y $ hay $a+c=2b $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[can_hang2008]

Nguyên văn bởi Silva

Có gì là bằng chứng không? Hay là nhận vơ?

Tôi không hám danh vậy đâu. Bài này là bạn của tôi - Bold Sanchir - một nghiên cứu sinh bên đó giúp tôi đề nghị. Tôi cũng không hay biết về chuyện này cho đến khi biết tin sáng nay.

Bài này tôi từng đưa lên blog tôi rồi, bạn xem ở đây: [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Silva]

Nguyên văn bởi can_hang2008

Tôi không hám danh vậy đâu. Bài này là bạn của tôi - Bold Sanchir - một nghiên cứu sinh bên đó giúp tôi đề nghị. Tôi cũng không hay biết về chuyện này cho đến khi biết tin sáng nay.

Bài này tôi từng đưa lên blog tôi rồi, bạn xem ở đây: [Only registered and activated users can see links. ]

Hám hay không hám thì chỉ có mỗi bạn biết thôi , mình sao biết được Mình đơn giản hỏi vì tò mò
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[can_hang2008]

Tất nhiên không ai hiểu mình hơn mình cả. Nhưng tôi cũng rất ghét những kẻ hàm ý xỏ xiên nói móc đâu.

P/s: Mongolia cũng không phải là một nước nổi tiếng gì về toán mà tôi phải "xạo" để tên tôi đứng ở đó.

Chẳng qua là tôi thấy vui một chút khi có một bài toán được chọn làm đề thi thôi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Silva]

Nguyên văn bởi can_hang2008

Tất nhiên không ai hiểu mình hơn mình cả. Nhưng tôi cũng rất ghét những kẻ hàm ý xỏ xiên nói móc đâu.

P/s: Mongolia cũng không phải là một nước nổi tiếng gì về toán mà tôi phải "xạo" để tên tôi đứng ở đó.

Chẳng qua là tôi thấy vui một chút khi có một bài toán được chọn làm đề thi thôi.

Nếu không làm gì thì ai nói xỏ xiên làm gì đúng không? Vậy nên bạn can_hang2010 lo làm gì chứ

P/s : chẳng qua tôi tò mò một chút nên hỏi thôi. Bạn đừng giận nha!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[can_hang2008]

OK. Ta nên kết thúc tranh luận và quay trở lại bài toán nhé!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dung_toan78]

Nguyên văn bởi Silva

Nếu không làm gì thì ai nói xỏ xiên làm gì đúng không? Vậy nên bạn can_hang2010 lo làm gì chứ

P/s : chẳng qua tôi tò mò một chút nên hỏi thôi. Bạn đừng giận nha!

Muốn người khác không giận thì tốt nhất là đừng gây chuyện.
Cậu có vẻ không hiểu về những người làm toán trên mạng, Cẩn còn có bài trong đề thi HSG Trung Quốc đấy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Silva]

Nguyên văn bởi dung_toan78

Muốn người khác không giận thì tốt nhất là đừng gây chuyện.
Cậu có vẻ không hiểu về những người làm toán trên mạng, Cẩn còn có bài trong đề thi HSG Trung Quốc đấy.

Tôi chả gây chuyện. Có người ghi : tác giả bài toán là Võ Quốc Bá Cẩn. Tôi thấy là lạ nên tò mò và hỏi. Tôi nghĩ bình thường người ta sẽ ghi là : đây là bài toán của tôi, hoặc là đây là bài toán của Cẩn

Còn từ "người làm toán trên mạng" , tôi đánh giá đây là từ mới trong từ điển tiếng Việt Để tôi về tra từ điển phát nhé, biết ít từ vựng quá cũng khổ!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]