Dãy các số chính phương

[Viet HN]

Tìm các số nguyên $a;\,b$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$ thì $2^na+b$ luôn là số chính phương.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[2M]

Nguyên văn bởi Viet HN

Tìm các số nguyên $a;\,b$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$ thì $2^na+b$ luôn là số chính phương.

Lời giải. Giả sử $a;\,b$ là các số thoả mãn, trước hết ta thấy nếu $a\ne 0$ thì $b\ne 0$. Bởi nếu ngược lại, ta chỉ cần chọn $n$ lẻ hoặc chẵn tuỳ theo $a$ có là số chính phương hay không là sẽ thấy không thoả. Với $b\ne 0$, ta xét các trường hợp sau.

1. Nếu $a<0$, khi đó do $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{2^n}a + b} \right) = - \infty$ nên không thoả yêu cầu.
2. Nếu $a>0$, xét dãy $\sqrt{2^na+b}=x_n $ ta thấy dãy tăng và có $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } x_n = + \infty$. Lại vì $x_n\in\mathbb N$ đồng thời $x_{n+2}\ne 2x_n$ do $b\ne 0$ nên
   \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left| {4x_n^2 - x_{n + 2}^2} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left| {2{x_n} - {x_{n + 2}}} \right|\left( {2{x_n} + {x_{n + 2}}} \right) = + \infty \]
   Điều đó mâu thuẫn với việc
   \[\left|4x_n^2 - x_{n + 2}^2\right|=b\]
   Vậy, cũng không xảy đến trường hợp này.
3. Nếu $a=0$, khi đó mọi số chính phương $b$ đều thoả yêu cầu.

Tóm lại, $a=0$ và $b$ là số chính phương.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]