Bài toán dãy số số học

[Ng_Anh_Hoang]

Cho dãy $$(a_n):\begin{cases} a_1=43, a_2=142 \\ a_{n+1}=3a_n+a_{n-1} \end{cases}$$
Chứng minh với mọi số tự nhiên $m$ tồn tại $n$ để $a_n \equiv a_{n+1} \equiv 1 \ (\text{mod} m)$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tikita]

Nguyên văn bởi Ng_Anh_Hoang

Cho dãy $$(a_n):\begin{cases} a_1=43, a_2=142 \\ a_{n+1}=3a_n+a_{n-1} \end{cases}$$
Chứng minh với mọi số tự nhiên $m$ tồn tại $n$ để $a_n \equiv a_{n+1} \equiv 1 \ (\text{mod} m)$.

Đặt dãy $b_1=b_2=1, b_{n+1}=3b_n+b_{n-1}$. Khi đó dễ dàng chứng minh được $$a_n=b_{n+4},\forall n\in\mathbb{N}^*$$
Mà dãy $(b_n\mod m)$ là tuần hoàn nên ta có đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Ng_Anh_Hoang]

Nguyên văn bởi tikita

Đặt dãy $b_1=b_2=1, b_{n+1}=3b_n+b_{n-1}$. Khi đó dễ dàng chứng minh được $$a_n=b_{n+4},\forall n\in\mathbb{N}^*$$
Mà dãy $(b_n\mod m)$ là tuần hoàn nên ta có đpcm.

Cảm ơn bạn nhiều. Cho mình hỏi sao lại có dãy $(b_n)$ hay quá?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[chemthan]

Nguyên văn bởi Ng_Anh_Hoang

Cảm ơn bạn nhiều. Cho mình hỏi sao lại có dãy $(b_n)$ hay quá?

Dễ thấy dãy $\{a_n\} $ là tuần hoàn theo $mod $ $m $. Vì vậy chỉ cần tìm được $k $ sao cho $a_k \equiv a_{k+1} $ $mod $ $m $ là xong. Vì $m $ là tùy ý nên ta phải tìm $k $ sao cho $a_k = a_{k+1} $. Với $k > 0 $ chắc chắn bạn sẽ không thể tìm được vì $a_{k+1} $ luôn lớn hơn $a_k $. Vậy sẽ phải tìm $k \le 0 $. Tính $a_{0}, a_{-1}, a_{-2}, ... $ từ công thức truy hồi bạn sẽ tìm thấy số $k $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]