Bài toán về phần nguyên

[blackholes.]

Cho p,q là các số nguyên tố lẻ.Chứng minh rằng:
$\sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}\left [ \frac{iq}{p} \right ]+\sum_{i=1}^{\frac{q-1}{2}}\left [ \frac{ip}{q} \right ]= \frac{\left ( p-1 \right )\left ( q-1 \right )}{2}$.Thanks.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thiendienduong]

Nguyên văn bởi blackholes.

Cho p,q là các số nguyên tố lẻ.Chứng minh rằng:
$\sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}\left [ \frac{iq}{p} \right ]+\sum_{i=1}^{\frac{q-1}{2}}\left [ \frac{ip}{q} \right ]= \frac{\left ( p-1 \right )\left ( q-1 \right )}{2}$.Thanks.

$p=q $ thì đâu có đúng bạn!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[blackholes.]

Nguyên văn bởi thiendienduong

$p=q $ thì đâu có đúng bạn!

Mình ghi thiếu.p,q phân biệt
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thiendienduong]

Nguyên văn bởi blackholes.

Cho p,q là các số nguyên tố lẻ.Chứng minh rằng:
$\sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}\left [ \frac{iq}{p} \right ]+\sum_{i=1}^{\frac{q-1}{2}}\left [ \frac{ip}{q} \right ]= \frac{\left ( p-1 \right )\left ( q-1 \right )}{2}$.Thanks.

$p=3, q=5 $ thì cũng đâu có đúng bạn!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hansongkyung]

Nguyên văn bởi blackholes.

Cho p,q là các số nguyên tố lẻ.Chứng minh rằng:
$\sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}\left [ \frac{iq}{p} \right ]+\sum_{i=1}^{\frac{q-1}{2}}\left [ \frac{ip}{q} \right ]= \frac{\left ( p-1 \right )\left ( q-1 \right )}{2}$.Thanks.

Chỉ cần $p,q$ là 2 só nguyên tố cùng nhau thôi.
Đặt $A=\{(i,j):1 \le \frac{p-1}{2};1 \le j \le \dfrac{q-1}{2}; i,j \in \mathbb{N} \}$
Khi đó ta có $|A| = \left (\dfrac{p-1}{2} \right) \left( \dfrac{q-1}{2} \right)$
Chia tập $A$ thành các tập con không giao nhau như sau:
$A_1 = \{(i,j): q.i > p.j\}$
$A_2 = \{(i,j): q.i < p.j \}$
$A_3 = \{(i,j): q.i = p.j \}$
Ta có ngay $|A_3| = \varnothing $
Suy ra $|A| = |A_1| + |A_2|$
Mà dễ dàng tính được $|A_1| = \sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}\left [ \frac{iq}{p} \right ]; |A_2| = \sum_{i=1}^{\frac{q-1}{2}}\left [ \frac{ip}{q} \right ]$
Từ đó ta có đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[KingArthur]

Thế hóa ra công thức ban đầu là sai?

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thiendienduong]

Nguyên văn bởi KingArthur

Thế hóa ra công thức ban đầu là sai?

Chuẩn!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]