Phương trình nghiệm nguyên

[Kém Toán]

Tìm $a,b,c\in N^*$ thỏa mãn: $(a^5+b)(b^5+a)=2^c$

Mong các bác giải giúp em bài này ạ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ptnkmt11]

Do $a,b \in N^*$ nên
$a^5 + b \geq 2$
$b^5 + a \geq 2$

Từ pt $(a^5+b)(b^5+a)=2^c$ suy ra:
$a^5 + b$ = $2^x$ (1)
$b^5 + a$ = $2^y$ (2)
Với $x,y \in N^*$

Ta dễ suy ra được $a,b$ cùng lẻ hoặc cùng chẵn

Giả sử $a \geq b$. Trừ (1) và (2):
$(a-b)(a^4+a^3.b + b^3.a + b^4 -1) = 2^y(2^{x-y} -1)$

Trường hợp 1: $a=b$ suy ra:
$a^5 +a = 2^x$
=> $a(a^4+1) = 2^x$
Nếu $a = 1$ thì $x = 1$
Nếu $a >1$ thì $a$ chẵn suy ra $a^4+1$ lẻ (vô lý)

Vậy pt có nghiệm $a=b=1$ và $c=2$


Trường hợp 2:$a$ khác $b$
Do $a,b$ cùng lẻ hoặc cùng chẵn nên:
$a-b$ chẵn
$(a^4+a^3.b + b^3.a + b^4 -1)$ lẻ
Suy ra:
$a-b = k.2^y$ (3)
$(a^4+a^3.b + b^3.a + b^4 -1) = (2^{x-y} -1)/k$
Với k là số nguyên dương
(3) => $a-b = (b^5 +a)k > a +b > a- b$ => vô nghiệm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[chinhtam]

Đây là bài T5/458 trong mục Đề ra kì này trên báo Toán học tuổi trẻ tháng 8 năm 2015. Tôi đề nghị không được đăng bài giải ở đây để đảm bảo công bằng cho các thí sinh khác tham gia giải đề. Xin cảm ơn !
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Kém Toán]

Mình không biết điều này, mong admin xóa hộ bài này nhé!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]