Tìm nghiệm nguyên của phương trình

[tranghieu95]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$$(x+y^2)(x^2+y)=(y-x)^2$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[LongRong]

Nhận thấy $x=y=0$ thoả mãn.

Nếu ít nhất một trong hai số khác $0$, đặt $\gcd (x,y)=d>0$ thì $x=dx_1,y=dy_1 \; \gcd (x_1,y_1)=1$. Phương trình tương đương với $$\left( x_1+dy_1^2 \right) \left( y_1+dx_1^2 \right) = (y_1-x_1)^2.$$

Nếu $x_1+dy_1^2=y_1-x_1=0$ thì $d=1,y_1=x_1=-1$ suy ra $x=y=-1$.

Nếu ít nhất một trong hai số $x_1+dy_1^2,y_1-x_1$ khác $0$, đặt $\gcd \left( x_1+dy_1^2, y_1-x_1 \right)=k$ thì $k \mid x_1+dy_1^2=y_1(dy_1+1)+(x_1-y_1)$ suy ra $k \mid y_1(dy_1+1)$. Nếu $\gcd (k,y_1)>1$ thì $\gcd (k,x_1)>1$ suy ra $\gcd (x_1,y_1)>1$, mâu thuẫn. Vậy $k \mid dy_1+1=y+1$ suy ra $k \mid x+1$ (do $k \mid x-y$). Từ đây ta suy ra $k \mid y_1-x_1+x_1(dx_1+1)=y_1+dx_1^2$.
Đặt $x_1+dy_1^2=km, y_1-x_1=kn, y_1+dx_1^2=kp$ thì $\gcd (m,n)=1$. Phương trình trở thành $mp=n^2$. Do $\gcd (m,n)=1$ nên $m=1$. Khi đó $x_1+dy_1^2 \mid y_1-x_1$.

Nếu $y_1=x_1$ thì $y_1=x_1= \pm 1$. Khi đó ta suy ra $d=1$. Vậy $x=y=-1$, mâu thuẫn.

Nếu $y_1 \ne x_1$ thì ta có $y_1-x_1 \mid (x_1+dy_1^2)-(y_1+dx_1^2)$ hay $kn \mid k-kn^2$ hay $n \mid n^2-1$. Ta suy ra $n=1$. Vậy $y_1-x_1=x_1+dy_1^2=y_1+dx_1^2$. Ta suy ra $(x_1-y_1)(1-x-y)=0$ suy ra $x+y=0$ suy ra $(x,y)=(0,1),(1,0)$.

Vậy $(x,y)= (0,0),(-1,-1),(0,1),(1,0)$. $\blacksquare$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]