Chứng minh A là ma trận đối xứng

[gioi]

Cho $A $ là ma trận thực vuông cấp $n $ thỏa mãn :
$Tr(A-A^T)^{2n}=0 $ Chứng minh $A=A^T $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi gioi

Cho $A $ là ma trận thực vuông cấp $n $ thỏa mãn :
$Tr(A-A^T)^{2n}=0 $ Chứng minh $A=A^T $

Do $A-A^T $ là ma trận phản đối xứng nên $i(A-A^T) $ là ma trận hermit, do đó có thể chéo hóa nó bởi ma trận unita, tức là tồn tại ma trận unita Q sao cho $Q^{-1}i(A-A^T)Q=diag(a_1,...,a_n) $, với $a_i $ là các số thực. Từ giả thiết ta có $a_i=0 $ với mọi i.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Constantine]

Từ đây rồi sao nữa anh, mới chỉ có kết luận $(A-A^T)^n=0 $ thôi mà, làm sao suy ra được $A=A^T $?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pgviethung]

Xét $B=A-A^T $ thì ta có $B=-B^T $ (phản đối xứng).
Suy ra $B^2 $ là ma trận đối xứng nên có các giá trị riêng thực, ngoài ra $B^2 $ nửa xác định âm do với mọi $x\in \mathbb{R}^n $ thì $x^TB^2x=-x^TB^TBx=-\langle Bx,Bx\rangle \leq 0 $. Như vậy, suy ra các giá trị riêng của $B^2 $ đều nhỏ hơn hoặc bằng 0. Thêm đk $tr(B^{2n})=0 $, ta có các giá trị riêng này đều bằng 0, hay là $B^2=0 $.
Vì $B=-B^T $ nên giá trị tại phần tử thứ i trên đường chéo của $B^2 $ là $-\sum_j b^2_{ij}=0 $, suy ra đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Constantine]

Cho e hỏi $B^2 $ ó các giá trị riêng đều bằng 0 làm sao suy ra $B^2=0 $?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nguyên văn bởi Constantine

Cho e hỏi $B^2 $ ó các giá trị riêng đều bằng 0 làm sao suy ra $B^2=0 $?

Tất nhiên là nếu chỉ có điều kiện giá trị riêng = 0 thì không suy ra được, ở đây phải kết hợp thêm là nó là ma trận đối xứng, mà ma trận đối xứng thì chéo hóa được!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]