Tìm số nguyên dương s

[tranghieu95]

Tìm các số nguyên dương s để tồn tại bộ số $(x_1; x_2;...; x_s)$ nguyên dương thỏa mãn:
$$\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}+...+\dfrac{1}{ x_s^2}=1$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thiendienduong]

Nguyên văn bởi tranghieu95

Tìm các số nguyên dương s để tồn tại bộ số $(x_1; x_2;...; x_s)$ thỏa mãn:
$$\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}+...+\dfrac{1}{ x_s^2}=1$$

Chỉ cần $s $ là số nguyên dương bất kì, ta chọn
$x_{1}=x_{2}=...=x_{s}=\sqrt{s} $ thì được bộ số thỏa đề.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranghieu95]

Nguyên văn bởi thiendienduong

Chỉ cần $s $ là số nguyên dương bất kì, ta chọn
$x_{1}=x_{2}=...=x_{s}=\sqrt{s} $ thì được bộ số thỏa đề.

Mình gõ thiếu đề.Đã edit. Xin lỗi các bn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[NLT]

Nguyên văn bởi tranghieu95

Tìm các số nguyên dương s để tồn tại bộ số $(x_1; x_2;...; x_s)$ nguyên dương thỏa mãn:
$$\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}+...+\dfrac{1}{ x_s^2}=1$$

Giải như sau:
Ta đi chứng minh nếu số nguyên dương $s$ thỏa đề bài thì $s+3$ cũng thỏa đề bài, tức là, nếu tồn tại $(x_1,x_2,..,x_n)$ nguyên dương sao cho: \[\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}+...+\dfrac{1}{x_ s^2}=1\]
Thì tồn tại $(y_1,y_2,..,y_s,y_{s+1},y_{s+2},y_{s+3})$ sao cho: \[\dfrac{1}{y_1^2}+\dfrac{1}{y_2^2}+...+\dfrac{1}{y_ {s+3}^2}=1\]
Thật vậy, để ý rằng với mọi $a$ nguyên dương ta đều có: \[\frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{{{(2a)}^2}}} + \frac{1}{{{{(2a)}^2}}} + \frac{1}{{{{(2a)}^2}}} + \frac{1}{{{{(2a)}^2}}}\]
Khi đó: \[\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}+...+\dfrac{1}{x_ s^2}=1 \to \dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}+...+\dfrac{1}{x_ {s-1}^2}+\frac{1}{(2x_s)^2}+\frac{1}{(2x_s)^2}+\frac{ 1}{(2x_s)^2}+\frac{1}{(2x_s)^2} =1\]
Như vậy chọn bộ số $(y_1,y_2,..,y_s,y_{s+1},y_{s+2},y_{s+3})=(x_1,x_2 ,...,x_{s-1},2x_s,2x_s,2x_s,2x_s)$
Do đó ta đã chứng minh được nếu số nguyên dương $s$ thỏa đề bài thì $s+3$ cũng thỏa đề bài.
Với $s=1$, đễ thấy $x_1=1$ thỏa.
Với $s=2$ không tìm được.
Với $s=3$ cũng không tìm được.
Với $s=4$, tồn tại bộ $(2,2,2,2)$ thỏa mãn.
Với $s=5$ không tìm được.
Với $s=6$, tồn tại bộ $(2,2,2,3,3,6)$ thỏa mãn.
Với $s=8$, tồn tại bộ $(2,2,2,3,4,4,12,12)$ thỏa mãn.
Từ $s=4,6,8$ thỏa mãn, do $s+3$ cũng thỏa mãn nên tất cả các giá trị $s>8$ nguyên đều thỏa.
Vậy tập các giá trị $s$ thỏa mãn là: $${\rm{S = }}{^{\rm{*}}}\backslash \{ {\rm{2}},{\rm{3}},{\rm{5}}\} $$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]