Tìm $c>0$ để dãy $(x_n)$ hội tụ và tính giới hạn của dãy khi ấy

Juliel · 27-05-2014, 06:42 PM

Cho dãy số $(x_n)$ xác định như sau :
$$\left\{\begin{matrix} x_1=c/2\\ x_{n+1}=\dfrac{1}{2}(c+x_n^2) \end{matrix}\right.$$
Tìm $c>0$ sao cho $(x_n)$ hội tụ. Trong trường hợp hội tụ, tính $\lim\;x_n$

osp · 24-06-2014, 11:50 PM

Nếu {$x_n$} hội tụ về $L$ thì $L= \frac{L^{2}+c}{2} \Leftrightarrow L^{2}-2L+c=0$ pt có nghiệm khi và chỉ khi $ \Delta '=1-c \geq 0 \Leftrightarrow 1 \geq 0$
với $c \in (0;1]$ qui nạp $x_n$ bị chặn trong (0;1)
xét $f(x)= \frac{x^{2}+c}{2}$ có $f'(x)=x>0 \forall x \in (0;1)$ suy ra $f$ đồng biến trên (0;1) suy ra $x_n$ đơn điệu trên (0;1)
vây với $c \in (0;1)$ thì {$x_n$} hội tụ.

27-05-2014, 06:42 PM	#1
Juliel +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2013 Đến từ: THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai Bài gởi: 144 Thanks: 109 Thanked 130 Times in 66 Posts	Tìm $c>0$ để dãy $(x_n)$ hội tụ và tính giới hạn của dãy khi ấy Cho dãy số $(x_n)$ xác định như sau : $$\left\{\begin{matrix} x_1=c/2\\ x_{n+1}=\dfrac{1}{2}(c+x_n^2) \end{matrix}\right.$$ Tìm $c>0$ sao cho $(x_n)$ hội tụ. Trong trường hợp hội tụ, tính $\lim\;x_n$

24-06-2014, 11:50 PM	#2
osp +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2014 Bài gởi: 88 Thanks: 61 Thanked 23 Times in 20 Posts	Nếu {$x_n$} hội tụ về $L$ thì $L= \frac{L^{2}+c}{2} \Leftrightarrow L^{2}-2L+c=0$ pt có nghiệm khi và chỉ khi $ \Delta '=1-c \geq 0 \Leftrightarrow 1 \geq 0$ với $c \in (0;1]$ qui nạp $x_n$ bị chặn trong (0;1) xét $f(x)= \frac{x^{2}+c}{2}$ có $f'(x)=x>0 \forall x \in (0;1)$ suy ra $f$ đồng biến trên (0;1) suy ra $x_n$ đơn điệu trên (0;1) vây với $c \in (0;1)$ thì {$x_n$} hội tụ.