$f(f(x)+y)=f(x^4-y)+8yf(x)\left ( f^2(x)+y^2 \right ),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$

[Juliel]

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn :
$$f(f(x)+y)=f(x^4-y)+8yf(x)\left ( f^2(x)+y^2 \right ),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Làm rồi mà không chắc lắm, mọi người chém nhẹ tay
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[giabao185]

Nguyên văn bởi Juliel

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn :
$$f(f(x)+y)=f(x^4-y)+8yf(x)\left ( f^2(x)+y^2 \right ),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Làm rồi mà không chắc lắm, mọi người chém nhẹ tay

CHỉ cần thay $y=\frac{x^4-f(x)}{2}$ là xong.
Bác Juliel khoái post PTH thế nhi?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TrauBo]

Ta thường tìm cách thế sao cho hai vế xuất hiện hai hàm giống nhau, từ đó triệt tiêu được nên bài toán đơn giản hơn.
Ở bài trên thì ta hi vọng có $f(x) + y = x^4 - y \Leftrightarrow y = \dfrac{x^4-f(x)}{2}$.
Ý tưởng tương tự có trong bài VMO 2002, và theo TrauBo nhớ, là có bài này:

$\boxed{\text{Bài toán:}}$ Tìm $f: (0; +\infty) \to (0; + \infty)$ thỏa $$f(xf(y)) \cdot f(y) = f(x+y) \ \forall x,y>0.$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]