Topic luyện giải các bài toán phương trình hàm

[Highschoolmath]

Nguyên văn bởi HocKoGioi

Topic vắng quá, mình góp 2 bài không khó, trước khi giải mấy bài khó của bạn minh_thương911

Để cho topic tiếp tục phát triển

Bài 3: Tìm tất cả hàm $f: (0, \infty) \to (0, \infty) $ thỏa:

$(i) f(x.f(y)) = yf(x) $
$(ii) f(x) \to 0 $ khi $x \to \infty $

Bài 4:$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} $. Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} $ thỏa:

$f(x)f(y) = y^\alpha.f(\frac {x}{2}) + x^\beta.f(\frac{y}{2}), \forall x,y \in \mathbb{R}^+ $

Bài 3:
+Cho $x=1 $ ta thu được $f(f(y))=y.f(1) $. Như vậy $f $ là song ánh.
+Cho $x=y=1 \Rightarrow f(f(1))=f(1) \Rightarrow f(1)=1 $ (do tính song ánh).
+Giả sử có một số $x_0 \neq 1 $ mà $f(x_0)=x_0 $. Thay $x=y=x_0 $ ta thu được $f(x^2_0)=x^2_0 $. Cứ lặp lại quá trình này, ta thu được $f(x^{2^n}_0)=x^{2^n}_0 $. Cho $n \rightarrow +\infty $ ta rút ra $\lim_{x \rightarrow +\infty }f(x)=\lim_{x \rightarrow +\infty}x $ (mâu thuẫn với tính chất ii). Như vậy có thể thấy $x_0=1 $ là nghiệm duy nhất của phương trình $f(x)=x $. (*)
+Cho $x=y \Rightarrow f[xf(x)]=xf(x) \Rightarrow xf(x)=1 $ (theo tính chất *). Như vậy $f(x)=\frac{1}{x} $.
Bài 4:
Thay đổi vai trò của $x,y $ cho nhau, ta thu ngay được $y^\alpha.f(\frac {x}{2}) + x^\beta.f(\frac{y}{2})=x^\alpha.f(\frac {y}{2}) + y^\beta.f(\frac{x}{2}) $
$\Rightarrow f(\frac {x}{2}).(y^\alpha-y^\beta)=f(\frac{y}{2}).(x^\alpha-x^\beta) $.
Ta sẽ có 2 khả năng:
+Nếu $\alpha \neq \beta \Rightarrow \frac{f(\frac {x}{2})}{x^\alpha-x^\beta}=\frac{f(\frac {y}{2})}{y^\alpha-y^\beta} $ (với mọi $x,y \in R^+ $).
$\Rightarrow \frac{f(\frac {x}{2})}{x^\alpha-x^\beta}=k $ với $k $ là hằng số
$\Rightarrow f(x)=k.[(2x)^\alpha-(2x)^\beta] $. Thay lại thấy không thỏa mãn nên loại.
+Nếu $\alpha = \beta $. Cho $x=y \Rightarrow f^2(x)=2.f(\frac{x}{2}).x^{\alpha} \Rightarrow f(x) \geq 0 \Rightarrow f(x)=\sqrt{2.f(\frac{x}{2}).x^{\alpha}} $ (*).
Thay (*) trở lại vào phương trình hàm rút ra $2\sqrt{f(\frac{x}{2}).f(\frac{y}{2}).y^{\alpha}.x^ {\alpha}}=f(\frac{x}{2}).y^{\alpha}+f(\frac{y}{2}) .x^{\alpha} $. Để ý đây là bất đẳng thức Cosi lúc xảy ra dấu "=", cho nên $f(\frac{x}{2}).y^{\alpha}=f(\frac{y}{2}).x^{\alpha } $
$\Rightarrow f(\frac{x}{2})=k.x^{\alpha} $
$\Rightarrow f(x)=k.(2x)^{\alpha} $. Thay nghiệm này vào lại phương trình hàm để kiểm tra. (đpcm)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]