Trong cuốn sách cùa Đào huy bích
có đưa ra công thức tính tensor biến dạn nhỏ như sau
$e_{ij}=\frac{1}{2}\left(\nabla_iu_j+\nabla_ju_i \right )$
trong tọa độ trực giao thì trở thành
$e_{11}^*=\frac{1}{A_1}\frac{\partial u_1^*}{\partial x^1}+\frac{u_2^*}{A_1A_2}\frac{\partial A_1}{\partial x^2}+\frac{u_3^*}{A_1A_3}\frac{\partial A_1}{\partial x^3}$
với các chú thích:
$g_{ii}=\frac{1}{g^{ii}}=A_i^2\quad g_{ij}=0\left(i\neq j \right )\\
g^{ij}=0\left(i\neq j \right )\\
\Gamma _{ijk}=0\left(i\neq j\neq k \right )\\
\Gamma_{ijj}=\Gamma_{jij}=-\Gamma_{jji}=A_iA_{i,j};\\
\Gamma_{iii}=A_iA_{i,i};\Gamma^k_{ij}=0;\Gamma^i_{ ij}=\Gamma^i_{ji}=\frac{A_{i,j}}{Ai};\\ \Gamma^j_{ii}=-\frac{A_iA_{i,j}}{\left(A_j \right )^2}\\
$
thành phần vật lý: $u_i^*=\frac{u_i}{A_i};\quad e_{ij}^*=\frac{e_{ij}}{A_iA_j}$ không lấy tổng theo i, j
bài tập cần CM lại nhưng khi e cm lại thì ra như sau:
$e^*_{ij}=\frac{1}{2A_iA_j}\left(\nabla_i\left(A_j u^*_j\right)+\nabla_j\left(A_iu^*_i\right)\right)$
$=\frac{1}{2A_iA_j}\left(u^*_i\nabla_jA_i+A_i \nabla _ju^*_i +u^*_j\nabla_iA_j+A_j\nabla_iu^*_j \right )$
áp dụng bổ để richie và đạo hàm hiệp biến của thành phần hiệp biến:
$e^*_{ij}=\frac{1}{2A_iA_j}\left(A_j\left(\frac{ \partial u^*_j}{\partial x^i}-\Gamma^k_{ij}u^*_k \right )+A_i\left(\frac{\partial u^*_i}{\partial x^j} -\Gamma^m_{ji}u^*_{m}\right )\right )$
từ đó:
$e^*_{11}=\frac{1}{A_1A_1}\left(A_1\left(\frac{ \partial u^*_1}{\partial x^1}-\Gamma^k_{11}u^*_k)\right) \right )$ tổng theo$k$
$=\frac{1}{A_1}\left(\frac{\partial u^*_1}{\partial x^1} +\left(\frac{A_1}{A_k^2}A_{1,k}\right)u^*_k \right )$
ngoặc $() $bên trong ko láy tông theo$ k$. nhưng bên ngoài thì vẫn lại tổng theo $ k$
$e^*_{11}=\frac{1}{A_1}\left(\frac{\partial u^*_1}{\partial x^1}+\frac{A_1}{A_1^2}A_{1,1}u^*_1+\frac{A_1}{A^2_ 2}A_{1,2}u^*_2+\frac{A_1}{A_3^2}A_{1,3}u^*_3\right )$
kết quả là
$=\frac{\partial u^*_1}{A_1\partial x^1}+\frac{u^*_1}{A_1^2}+\frac{u^*_2}{A_2^2}\frac{ \partial A_1}{\partial x^2}+\frac{u^*_3}{A_3^2}\frac{\partial A_1}{\partial x^3}$.
cía này khác hoàn toàn trong sách. ko biết bì sai chố nào mà làm mãi ko ra được
. các bro chỉ giúp với........