Ma trận

[shinichikudo]

1.Cho ma trận vuông A, B tm: AB+2A+3B=0.
CMR: $det(A^2+B^2) >= 0 $
2.Cho ma trận vuôngA, B tm AB +A+B=0
CMR $det(27A^2 + 11AB +2007B^2) >= 0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[shinichikudo]

Giúp dùm em với, câu 2 có trong đề thi giữa kì đợt trước của bọn em.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[shinichikudo]

Ngày thứ 3, no cm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Chào bạn, nếu có ai đó làm được và có thể giúp thì họ đã giúp. Tất cả thành viên của diễn đàn Mathscope đều là những con người bình thường như bao người, không phải siêu nhân hay cao thủ gì cả. Nếu không có ai giải bài, đó cũng là chuyện bình thường.

Ở VN, có một lượng kha khá sinh viên thạo toán đại học, nhưng đa phần là không có internet. Bạn nên nhớ điều đó. Đó là lý do tại sao nhiều diễn đàn toán lại vắng vẻ ở các box toán đại học. Còn box Sơ Cấp đông hơn, đơn giản là vì hầu như ai cũng học đc toán Sơ Cấp, chủ đề toán lại ít hơn hẳn.

Về bài toán của bạn. Tôi không hiểu lắm cái điều kiện đầu tiên của bài toán. Nhưng theo như tôi thấy thì $det(A^2+B^2) \geq 0 $ thỏa mãn với mọi ma trận vuông thực. (Tôi đoán vậy, chứ chưa chứng minh chặt chẽ).

Cụ thể là bạn thử tìm hiểu mối liên hệ giữa giá trị riêng của $A^2 $ và $A $ xem sao. Mối quan hệ đó sẽ cho ta thông tin về định thức của $A^2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Member_Of_AMC]

Nguyên văn bởi shinichikudo

1.Cho ma trận vuông A, B tm: $AB+2A+3B=0. $
CMR: $det(A^2+B^2) >= 0 $

$AB+2A+3B=0 \Leftrightarrow (A+3)(B+2)=6I_n $
Do đó $(A+3) $ và $(B+2) $ khả nghịch với nhau, nên:
$(A+3)(B+2)=(B+2)(A+3) => AB=BA $
Khi đó:
$det(A^2+B^2)=det(A+iB)(A-iB)=det(A+iB).det(A-iB)=|det(A+iB)|^2>=0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[shinichikudo]

Bài giải của bạn Member_Of_AMC giống hệt một bài giảng của thầy tớ
Tuy nhiên tớ ko hiểu đoạn này
$det(A+iB).det(A-iB)=|det(A+iB)|^2 $
@99: Lần đầu tớ tham gia diễn đàn, quen post bài thường có người cm ngay nên hơi xót ruột, mong bạn thông cảm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Member_Of_AMC]

Nguyên văn bởi shinichikudo

Bài giải của bạn Member_Of_AMC giống hệt một bài giảng của thầy tớ
Tuy nhiên tớ ko hiểu đoạn này
$det(A+iB).det(A-iB)=|det(A+iB)|^2 $
@99: Lần đầu tớ tham gia diễn đàn, quen post bài thường có người cm ngay nên hơi xót ruột, mong bạn thông cảm

Vì $det(A+iB) $ và $det(A-iB) $ là 2 số phức liên hợp của nhau mà. Với cả $z.\overline z = |z|^2 $.
Hình như cái này đúng khi $A $ và $B $ giao hoán. Bạn thử bỏ điều kiện giao hoán đi rùi tìm phản ví dụ cho trường hợp 2 ma trận cấp 2 xem.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[shinichikudo]

Nguyên văn bởi Member_Of_AMC

Vì $det(A+iB) $ và $det(A-iB) $ là 2 số phức liên hợp của nhau mà. Với cả $z.\overline z = |z|^2 $.

Bạn có thể giải thích tại sao det(A+iB) và det(A-iB) là 2 số phức liên hợp không ?
Thanks
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Member_Of_AMC]

Nguyên văn bởi shinichikudo

Bạn có thể giải thích tại sao $det(A+iB) $ và $det(A-iB) $ là 2 số phức liên hợp không ?

Vì:
2 phần tử trong ma trận $A+iB $ và ma trận $A-iB $, nếu ở cùng "tọa độ" (hàng và cột) là 2 số phức liên hợp của nhau.
Nếu $a+ib $ liên hợp với $a-bi $ , rồi $c+di $ liên hợp với $c-di $, thì mình cũng có $(a+ib)(c+id) $ liên hợp với $(a-ib)(c-id) $ .
Mà mỗi định thức khi khai triển ra thì nó có dạng tổng của tích các phần tử, nên 2 định thức của 2 ma trận trên liên hợp với nhau (từng hạng tử lúc khai triển liên hợp với nhau).
Hic, cái này nó hơi hiển nhiên nên khó nói quá
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[shinichikudo]

Cám ơn bạn.
Bài 1 vậy là ổn rồi.
Nếu bạn rảnh "chơi" nốt bài 2 dùm tớ nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Lúc đầu tôi cũng cố giải thử Nhưng không ra .
Nhìn lời giải cũng quái lạ .
@ Member_Of_AMC có thể nói rỏ nguồn gốc, ý tưởng lời giải này như thế nào ? Cám ơn

@shinichikudo Sao gọi là là ổn rồi . Mà phải nói cả 2 bài .Vì chúng thực ra "giống nhau"
@ 99 : chắc #2,#3 xóa được rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Member_Of_AMC]

Nguyên văn bởi Galois_vn

@ Member_Of_AMC có thể nói rỏ nguồn gốc, ý tưởng lời giải này như thế nào ?

Mình được học hay đọc được một bài tương tự ở đâu ấy bạn, mình thú thực là không nhớ rõ nữa. Do cách giải ấn tượng nên mình còn nhớ thôi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[shinichikudo]

@:Galois_vn
Lười quá, quả nhiệt giống nhau thật
Mỗi tội phân tích nghe vẻ "xấu số: quá
Cám ơn bạn nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thangk50]

Từ giả thiết suy ra $(A+I_n)(B+I_n)=I_n $ suy ra $A+I_n, B+I_n $ là hai ma trận nghịch đảo của nhau suy ra nó giao hoán tức là $(A+I_n)(B+I_n)=(B+I_n)(A+I_n) $ suy ra $AB=BA $.
Gọi $a, a' $ là hai nghiệm phức của phương trình $27z^2+11z+2007=0 $. Dễ thấy a, a' là hai số phức liên hợp. khi đó do A, B giao hoán nên

$det[27A^2+11AB+2007B^2]=27^ndet(A-aB)(A-a'B)=27^n(det(A-aB))^2\ge0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]