Ma trận lũy linh

[MathForLife]

Mình đã đọc bài này ở trên diễn đàn mà giờ tìm lại ko thấy

.
Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$. Biết $A$ lũy linh chứng minh rằng $A^n=0$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Bài này mà dùng dạng chuẩn Jordan thì ra luôn thôi, nhưng mà như thế hơi mạnh quá. Hay là em thử xét các không gian vector sau $\mathrm{Ker}(A^i)$ với $1\leq i\leq n.$ Các không gian vector này là tăng dần, và có thể giúp em giải bài tập.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi 99

Bài này mà dùng dạng chuẩn Jordan thì ra luôn thôi, nhưng mà như thế hơi mạnh quá. Hay là em thử xét các không gian vector sau $\mathrm{Ker}(A^i)$ với $1\leq i\leq n.$ Các không gian vector này là tăng dần, và có thể giúp em giải bài tập.

Em nghĩ là không cần đến dạng chuẩn Jordan anh ạ. Chỉ cần để ý rằng tất cả các giá trị riêng của $A$ đều bằng 0, từ đó thì đa thức đặc trưng của $A$ là $x^n$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[YeuEm Zayta]

Nguyên văn bởi novae

Em nghĩ là không cần đến dạng chuẩn Jordan anh ạ. Chỉ cần để ý rằng tất cả các giá trị riêng của $A$ đều bằng 0, từ đó thì đa thức đặc trưng của $A$ là $x^n$.

nhưng đây là tính chất nhận được sau khi cm được đa thức đặc trưng có dạng x^n mà a.
giải:giả sử A^r =0 (A lũy linh)
+th1:r<=n hiển nhiên đúng A^n=0
+th2:r>n A^r=0 xét đa thức f(x)=x^r,p(x) đa thức đặc trưng có bậc cao nhất là n,f(x) cùng tập nghiệm với p(x) =>> p(x)=x^n hay A^n=0
a @99 có thể đưa ra lời giải cụ thể hơn được ko ạ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Thật ra thì cái mình nói là mô phỏng lại chứng minh dạng chuẩn Jordan thôi, nhưng mình chưa nghĩ cẩn thận. Mình tin là nếu tồn tại $i$ sao cho $Ker (A^i) = Ker (A^{i+1}) \neq V$ thì sẽ có vô lý.

Cách của novae tức là ngụ ý dùng định lý Cayley-Hamilton, và anh thì không rõ định lý đó được c/m bằng những cách như thế nào? Ví dụ có cách nào rất sơ cấp không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi MathForLife

Mình đã đọc bài này ở trên diễn đàn mà giờ tìm lại ko thấy

.
Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$. Biết $A$ lũy linh chứng minh rằng $A^n=0$

Xét $A$ như là ánh xạ tuyến tính trên không gian vector $X$. Giả sử $A^n\not=0$. Đặt $X_1 = X$, $X_{i+1} = A^iX$ và $A_i = A\big|_{X_i}$ với $1\leq i\leq n$. Khi đó $A_i: X_i \to X_{i+1}$ là toàn ánh. Vì $A$ là lũy linh nên $A_i$ không thể là đơn ánh, do đó
$$\text{dim}(X_i) - \text{dim}(X_{i+1}) = \text{dim}(\text{ker}A_i) \geq 1.$$
Ta có
$$\text{dim}(X_1) -\text{dim}(X_{n+1}) = \sum_{i=1}^n\left( \text{dim}(X_i) - \text{dim}(X_{i+1})\right) \geq n.$$
Do $\text{dim}(X_1) =n$, nên $\text{dim}(X_{n+1})\leq 0$, tức là $X_{n+1} =\{0\}$ (vô lý vì ta giả sử $A^n\not=0$). Vậy giả sử $A^n\not=0$ là sai. Do đó ta có dpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathForLife]

Nguyên văn bởi novae

Em nghĩ là không cần đến dạng chuẩn Jordan anh ạ. Chỉ cần để ý rằng tất cả các giá trị riêng của $A$ đều bằng 0, từ đó thì đa thức đặc trưng của $A$ là $x^n$.

Tại sao giá trị riêng của nó đều là 0 anh?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nguyên văn bởi MathForLife

Tại sao giá trị riêng của nó đều là 0 anh?

Chú chịu khó nháp thử là ra thôi mà. Giả sử $\lambda$ là giá trị riêng của $A,$ $v$ là một vector riêng tương ứng và $Av = \lambda v.$
Vì $A$ lũy linh,n ên tồn tại $k$ sao cho $A^k = 0,$ bây giờ ta tác động $A^{k-1}$ vào đẳng thức $Av = \lambda v,$ ta sẽ thu được $\lambda =0.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathForLife]

Nguyên văn bởi 99

Chú chịu khó nháp thử là ra thôi mà. Giả sử $\lambda$ là giá trị riêng của $A,$ $v$ là một vector riêng tương ứng và $Av = \lambda v.$
Vì $A$ lũy linh,n ên tồn tại $k$ sao cho $A^k = 0,$ bây giờ ta tác động $A^{k-1}$ vào đẳng thức $Av = \lambda v,$ ta sẽ thu được $\lambda =0.$

Vậy thì sao ạ??? Đâu suy ra được điều phải chứng minh đâu anh!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Tác động $A^{k-1}$ vào thì vế phải trở thành $\lambda^kv = \vec{0}$ nên $\lambda = 0.$ Đó là điều em hỏi mà?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathForLife]

Nguyên văn bởi 99

Tác động $A^{k-1}$ vào thì vế phải trở thành $\lambda^kv = \vec{0}$ nên $\lambda = 0.$ Đó là điều em hỏi mà?

ANh có chửi em ngu em cũng chịu ạ! Ý em là nếu như vậy thì suy ra được A^n=0 kiểu gì ạ??
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Chào chú,

Anh chỉ trả lời cái câu hỏi mà chú hỏi vì sao giá trị riêng bằng 0. Còn việc lũy thừa lên bằng 0 thì anh đã gửi chú một chỉ dẫn như trên, nhưng sau đó anh 123456 đã giải đầy đủ rồi thì anh bàn thêm làm gì? Chứ cái sự kiện chú nói thì nó vẫn chỉ thuộc vào phần dạng chuẩn Jordan, vì để tìm được dạng chuẩn Jordan của một ma trận thì đầu tiên vẫn phải tìm hiểu cấu trúc của ma trận lũy linh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]