Hai bài Lượng Giác hay và khó

hong.qn · 19-11-2010, 10:41 PM

Tam giác $ABC $ có
a. $\boxed{S= \frac{1}{4}({a^2} + {b^2})} $

CMR: $ABC $ là tam giác vuông cân.

b. $\boxed{\frac{{b + c}}{{\sin A}} = \frac{{a + c}}{{\sin B}} = \frac{{a + b}}{{\sin C}}} $

CMR: $ABC $ là tam giác đều.

**novae** · 19-11-2010, 10:51 PM

Theo giả thiết, ta có: $S=\frac{1}{4} (a^2+b^2) \ge \frac{1}{2} ab $
Mặt khác: $S=\frac{1}{2} ab \sin C \le \frac{1}{2} ab $
Do đó dấu bằng ở 2 bất đẳng thức trên phải xảy ra $\Leftrightarrow a=b;\sin C=1 \Leftrightarrow \Delta ABC $ vuông cân tại $C $
Áp dụng định lý sin, ta có
$\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c} $
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b^2+bc=a^2+ac \\ b^2+ab=c^2+ac \end{matrix} \Rightarrow b(c-a)=(a+c)(a-c) \Rightarrow a=c $
Tương tự, ta có $a=b=c $ hay $\Delta ABC $ đều

**batigoal** · 19-11-2010, 11:01 PM

B. $\boxed{\frac{{b + c}}{{\sin A}} = \frac{{a + c}}{{\sin B}} = \frac{{a + b}}{{\sin C}}} $

CMR: $ABC $ là tam giác đều.[/QUOTE]

Áp dụng định lí Sin ta dẫn đến
$\boxed{\frac{{SinB + SinC}}{{\sin A}} = \frac{{SinA + SinC}}{{\sin B}} = \frac{{SinA +SinB}}{{\sin C}}} $
Từ $\frac{{SinB + SinC}}{{\sin A}} = \frac{{SinA + SinC}}{{\sin B}} $ suy ra (SinA-SinB)(SinA+sinB+sinC)=0.Do A,B,C là ba góc tam giác nên SinA+sinB+sinC>0.Vậy SinA=SinB hay A=B.
Tương tự ta có B=C.
Vậy tam giác ABC đều

19-11-2010, 10:41 PM	#1
hong.qn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2009 Đến từ: Hà Giang Bài gởi: 154 Thanks: 44 Thanked 32 Times in 24 Posts	Hai bài Lượng Giác hay và khó Tam giác $ABC $ có a. $\boxed{S= \frac{1}{4}({a^2} + {b^2})} $ CMR: $ABC $ là tam giác vuông cân. b. $\boxed{\frac{{b + c}}{{\sin A}} = \frac{{a + c}}{{\sin B}} = \frac{{a + b}}{{\sin C}}} $ CMR: $ABC $ là tam giác đều. __________________ Em đem trao cho anh nụ Hồng Nụ hồng mong manh như sương mai trong gió CHÚA SINH RA ĐÀN BÀ ĐỂ NGỰ TRỊ ĐÀN ÔNG ĐỨA NÀO SỢ ĐÀN ÔNG KHÔNG PHẢI CON CỦA CHÚA "Trích kinh thánh quyển 2010 dòng 2011" thay đổi nội dung bởi: hong.qn, 19-11-2010 lúc 10:44 PM

19-11-2010, 10:51 PM	#2
novae +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts	Theo giả thiết, ta có: $S=\frac{1}{4} (a^2+b^2) \ge \frac{1}{2} ab $ Mặt khác: $S=\frac{1}{2} ab \sin C \le \frac{1}{2} ab $ Do đó dấu bằng ở 2 bất đẳng thức trên phải xảy ra $\Leftrightarrow a=b;\sin C=1 \Leftrightarrow \Delta ABC $ vuông cân tại $C $ Áp dụng định lý sin, ta có $\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c} $ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b^2+bc=a^2+ac \\ b^2+ab=c^2+ac \end{matrix} \Rightarrow b(c-a)=(a+c)(a-c) \Rightarrow a=c $ Tương tự, ta có $a=b=c $ hay $\Delta ABC $ đều bài viết thứ 700 __________________ M. thay đổi nội dung bởi: novae, 19-11-2010 lúc 11:17 PM

19-11-2010, 11:01 PM	#3
batigoal Super Moderator Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 2,895 Thanks: 382 Thanked 2,968 Times in 1,295 Posts	B. $\boxed{\frac{{b + c}}{{\sin A}} = \frac{{a + c}}{{\sin B}} = \frac{{a + b}}{{\sin C}}} $ CMR: $ABC $ là tam giác đều.[/QUOTE] Áp dụng định lí Sin ta dẫn đến $\boxed{\frac{{SinB + SinC}}{{\sin A}} = \frac{{SinA + SinC}}{{\sin B}} = \frac{{SinA +SinB}}{{\sin C}}} $ Từ $\frac{{SinB + SinC}}{{\sin A}} = \frac{{SinA + SinC}}{{\sin B}} $ suy ra (SinA-SinB)(SinA+sinB+sinC)=0.Do A,B,C là ba góc tam giác nên SinA+sinB+sinC>0.Vậy SinA=SinB hay A=B. Tương tự ta có B=C. Vậy tam giác ABC đều