Một số bài toán lượng giác

hong.qn · 22-11-2010, 07:51 PM

Bài 1) Chứng minh rằng $\Delta ABC $ là tam giác vuông nếu nó thỏa mãn

$\boxed{S=\frac{1}{4}(a+b-c)(a-b+c)} $

Bài 2) Cho tam giác $ABC $ có $A=90^0 $. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\boxed{(1+\frac{1}{\sin B})(1+\frac{1}{\sin C})(1+\frac{1}{\cos B})(1+\frac{1}{\cos C})} $

**novae** · 22-11-2010, 07:57 PM

Trích:

Nguyên văn bởi hong.qn

Bài 1) Chứng minh rằng $\Delta ABC $ là tam giác vuông nếu nó thỏa mãn

$S=\frac{1}{4}(a+b-c)(a-b+c) $

Áp dụng công thức Hérone, ta có
$S=\frac{1}{4}(a+b-c)(a-b+c) $
$\Leftrightarrow p(p-a)(p-b)(p-c)=(p-b)^2(p-c)^2 $
$\Leftrightarrow p(p-a)=(p-b)(p-c) $
$\Leftrightarrow b^2+c^2=a^2 $
$\Leftrightarrow \Delta ABC $ vuông tại $A $

chinsu_nsl · 22-11-2010, 08:08 PM

Bài 1: Đặt $2p=a+b+c $.
Từ giả thiết:$S=(p-b)(p-c) $
Theo Heron:
$S^{2}=p(p-a)(p-b)(p-c) $
Vậy ta có:
$p(p-a)=(p-b)(p-c)\Rightarrow ap=(b+c)p-bc\Rightarrow a(a+b+c)=(b+c)(a+b+c)-2bc\Rightarrow a^{2}+ab+ac=ab+b^{2}+bc+ac+bc+c^{2}-2bc\Rightarrow a^{2}=b^{2}+c^{2} $.
Do đó suy ra tam giác vuông.

hong.qn · 22-11-2010, 08:29 PM

Bài 2 em được hướng dẫn là dùng định lý Sin. Nhưng làm mãi không được. Khó quá.

king_math96 · 22-11-2010, 08:31 PM

Trích:

Nguyên văn bởi hong.qn

Bài 2) Cho tam giác $ABC $ có $A=90^0 $. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$F=\boxed{(1+\frac{1}{\sin B})(1+\frac{1}{\sin C})(1+\frac{1}{\cos B})(1+\frac{1}{\cos C})} $

theo em bài nì giải thế này :
Ta có:
$(1+\frac{1}{sinB})(1+\frac{1}{cosB}) \geq (1+\frac{1}{\sqrt{sinB.cosB}})^2(1) $
mà $sin^2B+cos^2B \geq 2sinB.cosB $
$=> \frac{1}{\sqrt{2}} \geq \sqrt{sinB.cosB}(2) $
từ (1) và (2) $suy ra (1+\frac{1}{sinB})(1+\frac{1}{cosB}) \geq (\sqrt{2}+1)^2 $
Tương tự $(1+\frac{1}{sinC})(1+\frac{1}{cosC}) \geq (\sqrt{2}+1)^2 $
Do đó: min F=$(1+\sqrt{2})^4 $ khi và chỉ khi B=C=45 độ

th2091 · 22-11-2010, 11:29 PM

Trích:

Nguyên văn bởi hong.qn

Bài 2) Cho tam giác $ABC $ có $A=90^0 $. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\boxed{(1+\frac{1}{\sin B})(1+\frac{1}{\sin C})(1+\frac{1}{\cos B})(1+\frac{1}{\cos C})} $

Có B+C=$90^0 $
VT=$(1+\frac{1}{\sin B})^2(1+\frac{1}{\sin C})^2 $
có $(1+\frac{1}{\sin B})(1+\frac{1}{\sin C})=1+\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC}+\frac{1}{sinC. sinB}\ge 1+\frac{4}{sinB+sinC}+\frac{2}{cos(B-C)+cosA} $
$\ge 1+\frac{4}{2cos\frac{A}{2}cos\frac{B-C}{2}}+2\ge 3+2\sqrt{2} $(Vì $cos(B-C)\le 1 $)
=> $VT\ge (1+\sqrt{2})^4 $

22-11-2010, 07:51 PM	#1
hong.qn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2009 Đến từ: Hà Giang Bài gởi: 154 Thanks: 44 Thanked 32 Times in 24 Posts	Một số bài toán lượng giác Bài 1) Chứng minh rằng $\Delta ABC $ là tam giác vuông nếu nó thỏa mãn $\boxed{S=\frac{1}{4}(a+b-c)(a-b+c)} $ Bài 2) Cho tam giác $ABC $ có $A=90^0 $. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $\boxed{(1+\frac{1}{\sin B})(1+\frac{1}{\sin C})(1+\frac{1}{\cos B})(1+\frac{1}{\cos C})} $ __________________ Em đem trao cho anh nụ Hồng Nụ hồng mong manh như sương mai trong gió CHÚA SINH RA ĐÀN BÀ ĐỂ NGỰ TRỊ ĐÀN ÔNG ĐỨA NÀO SỢ ĐÀN ÔNG KHÔNG PHẢI CON CỦA CHÚA "Trích kinh thánh quyển 2010 dòng 2011" thay đổi nội dung bởi: novae, 22-11-2010 lúc 07:58 PM

22-11-2010, 08:29 PM	#4
hong.qn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2009 Đến từ: Hà Giang Bài gởi: 154 Thanks: 44 Thanked 32 Times in 24 Posts	Bài 2 em được hướng dẫn là dùng định lý Sin. Nhưng làm mãi không được. Khó quá. __________________ Em đem trao cho anh nụ Hồng Nụ hồng mong manh như sương mai trong gió CHÚA SINH RA ĐÀN BÀ ĐỂ NGỰ TRỊ ĐÀN ÔNG ĐỨA NÀO SỢ ĐÀN ÔNG KHÔNG PHẢI CON CỦA CHÚA "Trích kinh thánh quyển 2010 dòng 2011"

22-11-2010, 08:08 PM	#3
chinsu_nsl +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2010 Đến từ: truong PTNK tp HCM Bài gởi: 45 Thanks: 15 Thanked 26 Times in 19 Posts	Bài 1: Đặt $2p=a+b+c $. Từ giả thiết:$S=(p-b)(p-c) $ Theo Heron: $S^{2}=p(p-a)(p-b)(p-c) $ Vậy ta có: $p(p-a)=(p-b)(p-c)\Rightarrow ap=(b+c)p-bc\Rightarrow a(a+b+c)=(b+c)(a+b+c)-2bc\Rightarrow a^{2}+ab+ac=ab+b^{2}+bc+ac+bc+c^{2}-2bc\Rightarrow a^{2}=b^{2}+c^{2} $. Do đó suy ra tam giác vuông.